课时分层作业4 向量的数乘运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(四)　向量的数乘运算 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1.] 2．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n AB　[A正确．B正确．C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.] 3．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 C　[由条件可知＝－，∴AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．] 4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ A　[如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．] 5．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　) A．k＝m B．km－1＝0 C．km＋1＝0 D．k＋m＝0 B　[若A，B，C三点共线，则与共线， 所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb， 所以所以km＝1，即km－1＝0.] 二、填空题 6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 4b－3a　[由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.] 7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________. 2　[∵－3＋2＝0， ∴－＝2(－)，∴＝2， ∴＝2.] 8．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 3　[∵＋＋＝0，∴＋＝－， 又由＋＝m得(M＋)－2＝m， 即－3＝m＝－m，所以m＝3.] 三、解答题 9．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，. [解]　∵AC＝BA，∴A是BC的中点， ∴＝(＋)， ∴＝2－＝2a－b. ∴＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. 10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. 问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． [解]　设存在k∈R，使得A，B，D三点共线， ∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2， 又∵A，B，D三点共线，∴＝λ， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， ∴∴k＝－8， ∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线． 11．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| C　[，分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，≠；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，选C．] 12．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b AB　[对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．] 13．(一题两空)如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． (1)＝________； (2)＝________. (1)e2＋e1　(2)e1－e2　[因为∥，||＝2||，所以＝2，＝. (1)＝＋＝e2＋e1. (2)＝＋＋ ＝－－＋ ＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.] 14．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________． 3　[，共线