6.2.3 向量的数乘运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.2.3　向量的数乘运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点) 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点) 3．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点) 4．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点) 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养． 2．通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养. 　 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？ 1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？ [提示]　定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 拓展　向量线性运算的常用结论 (1)在△ABC中，D是BC的中点，则＝； (2)O是△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0； (3)与同向的单位向量为. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa＝0，则a＝0. (　　) (2)(－7)·6a＝－42a. (　　) (3)若＝λ(λ≠0)，则A，B，C，D四点共线． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(4)× 2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a　　　　　 B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b A　[因为a，b方向相同，故b＝2a.] 3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________. －2a＋8b　[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.] 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________. 2　[由向量加法的平行四边形法则知＋＝. 又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO， ∴＝2，∴＋＝2，∴λ＝2.] 向量的线性运算 【例1】　化简下列各式： ①3(6a＋b)－9； ②－2； ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解]　①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [跟进训练] 1．(1)化简； (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. [解]　(1)原式＝ ＝＝＝a－b. (2)由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b. 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 向量共线定理 [探究问题] 1．如何证明向量a与b共线？ [提示]　要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可． 2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？ [提示]　要证三点A，B，C共线，只需证明与或与共线即可． 【例2】　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，