6.2.2 向量的减法运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.2.2　向量的减法运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点) 2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点) 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点) 1.类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养数学抽象和数学建模的核心素养． 2．通过对向量的减法的学习，提升数学运算和逻辑推理素养. 　 一架飞机由天津―→香港，再由香港―→天津． 问题：飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？ 1．相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|? [提示]　当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0－a＝－a. (　　) (2)－(－a)＝a. (　　) (3)a＋(－a)＝0. (　　) (4)a＋0＝a. (　　) (5)a－b＝a＋(－b)． (　　) (6)a＋(－a)＝0. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　) A．m＝n　　　　　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 A　[由条件可知，当m≠0且n≠0时，B，C，D项都成立，故选A．] 3．化简－＋＋的结果等于(　　) A．　　　B．　　　 C．　　　D． B　[原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.] 4．(一题两空)如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________. a＋b　b－a　[由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.] 向量减法的几何意义 【例1】　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c (2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [思路探究]　(1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，，转化； (2)利用几何意义法与定义法求作a＋b－c. (1)A　[＝－＝(＋)－＝a＋c－b.] (2)[解]　法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c. 图①　　　　　　图② 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． [跟进训练] 1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. [解]　法一：先作a－b，再作a－b－c即可． 如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c. 图①　　　　　　　图② 法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②. (1)作＝－b和＝－c； (2)作＝a，则＝a－b－c. 向量减法的运算及简单应用 【例2】　(1)如图所示： ①用a，b表示； ②用b，c表示. (2)化简下列各向量的表达式： ①＋－； ②(－)－(－)； ③(＋＋)－(－－)． [思路探究]　按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同． [解]　(1)由题意知＝a，＝b，＝c. ①＝－＝－－＝－a－b. ②＝－＝－(＋)＝－b－c. (2)①＋－＝－＝. ②法一：(加法法则) 原式＝－－＋ ＝(＋)－(＋) ＝－＝0； 法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝－－＋ ＝(－)＋(－) ＝＋＝0； 法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝－－＋ ＝(－)－(－)－(－)＋(－) ＝－－＋－＋＋－＝0. ③(＋＋)－(－－) ＝(＋)－(－)＝－＝0. 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相