专题05 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略-【B卷必考】2021-2022学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题05 相交线与平行线压轴题三种模型全攻略 类型一、猪脚模型 例．（1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程； （2）如图乙，AB∥CD，写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系，并写出证明过程； （3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？ 若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论． 【答案】（1）∠2=∠1+∠3；理由见解析；（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，理由见解析；结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3． 证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3； （2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 理由：分别过点E，G，M， 作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN =∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5； （3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P， 作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN， ∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【变式训练1】如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…， 第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En. （1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE； （2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC； （3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BEC等于2nα度. 【详解】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE； （2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC； （3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度数． 试题解析：解：（1）如图①，过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2．∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE； （2）如图2．∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC； ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC； （3）如图2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC； … 以此类推，∠En=∠BEC，∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度． 【变式训练2】把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间． （1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数； （2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； （3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°. 【解析】解：(1)∵AB∥CD， ∴∠1=∠EGD， ∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1， ∴2∠1+60°+∠1=180°， ∴∠1=40°； (2)过点F作FP∥AB， ∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC