专题03 平方差公式常考的两种题型全攻略-【B卷必考】2021-2022学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题03 平方差公式常考的两种题型全攻略 【知识点梳理】 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。 注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。 类型一、平方差公式的逆运用 例、如果m2+m＝5，那么代数式m（m+2）+（m+2）（m﹣2）的值为（　　） A．6 B．9 C．﹣1 D．14 【答案】A 【详解】解：原式＝＝＝ ∵，∴，∴原式=． 故选：A． 【变式训练1】若，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴=====． 故选B． 【变式训练2】已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝___． 【答案】3 【详解】 m2﹣n2＝24，m比n大8， ，，故答案为：3 【变式训练3】计算：． 【答案】2022 【详解】 解：原式＝＝＝2022． 【变式训练4】算式（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）……（232＋1）＋1计算结果的个位数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：原式＝（2−1）•（2＋1）•（＋1）•（＋1）…（＋1）＋1 ＝（−1）•（＋1）•（＋1）…（＋1）＋1 ＝（−1）•（＋1）…（＋1）＋1＝−1＋1＝， ∵＝2，＝4，＝8，＝16，＝32，…，∴其结果个位数以2，4，8，6循环， ∵64÷4＝16，∴原式计算结果的个位数字为6．故选：C． 类型二、 几何应用 例、（探究）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)； （应用）请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　；②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． （拓展）计算的结果为　　　　． 【答案】探究：（1），；（2）； 应用：①12；②；拓展：． 【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为， 故答案为：，； （2） 由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：， 故答案为：；应用：①，故答案为：12； ②原式，，； 拓展：原式， ，， ，，． 【变式训练1】如图1，将长为宽为的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图1，图形的面积为（x+1）（x-1）；如图2，图形的面积为x（x-1）+1×（x-1）==， ∴，故选D． 【变式训练2】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个） A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【答案】（1）B；（2）①3；②． 【解析】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B； （2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3； ②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） =×=． 【变式训练3】从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　； （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值； ②计算：． 【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；②． 【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），二者相等，从而能验证的等式为：a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）； （2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b），∴21=（a+b）×3，∴a+b=7； ② = = ==． 【