第02讲 平面直角坐标系-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第2讲平面直角坐标系 目标导航 1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标； 2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化； 3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想． 知识精讲 知识点01平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 【即学即练1】已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上； （3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； （4）点P到x轴、y轴的距离相等． 【点拨】根据点的坐标特征一一求解. 【解析】 解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上， ∴2a+8=0， 解得：a=﹣4， 故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6， 则P（﹣6，0）； （2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上， ∴a﹣2=0， 解得：a=2， 故2a+8=2×2+8=12， 则P（0，12）； （3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；， ∴a﹣2=1， 解得：a=3， 故2a+8=14， 则P（1，14）； （4）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0， 解得：a1=﹣10，a2=﹣2， 故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12， 则P（﹣12，﹣12）； 故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4， 则P（﹣4，4）． 综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）． 【总结】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面． 【即学即练2】已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P的纵坐标比横坐标大3； （2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上． 【点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m的值，进而得出P点坐标； （2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标． 【解析】 解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3， ∴m﹣1﹣（2m+4）=3， 解得：m=﹣8， ∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9， ∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）； （2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上， ∴m﹣1=﹣3， 解得：m=﹣2， ∴2m+4=0， ∴P点坐标为：（0，﹣3）． 【总结】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键． 【即学即练3】已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则的值为_______. 【点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出的值． 【答案】25 【解析】 解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），