第01讲 变量与函数-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（华东师大版）

第1讲变量与函数 目标导航 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；对函数关系的表示法（如列表法、关系式法、图象法）有初步认识； 3. 理解函数图象上的点的坐标与其关系式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义；初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 知识精讲 知识点01变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 【即学即练1】下列等式中，是的函数有（ ） A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个 【答案】C； 【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 当取2，有两个值±和它对应，对于，当取2，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：都有唯一确定的值与对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C. 【总结】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.抓住函数定义中的关键词语“都有唯一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”. 知识点02函数的定义 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中是自变量，是因变量，是的函数．如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值. 表示函数关系的式子叫做函数解析式. （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 知识点03函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【即学即练2】 若与的关系式为，当＝时，的值为（ ） A．5 B．10 C．4 D．－4 【点拨】把代入关系式可求得函数值. 【答案】C； 【解析】. 【总结】是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 知识点04自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 自变量的取值范围的确定方法： 首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 【即学即练3】 求出下列函数中自变量的取值范围 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点拨】自变量的范围，是使函数有意义的的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【解析】 解：（1） ，为任何实数，函数都有意义； （2），要使函数有意义，需2－3≠0，即≠； （3），要使函数有意义，需2＋3≥0，即； （4），要使函数有意义，需2－1＞0，即； （5），为任何实数，函数都有意义； （6），要使函数有意义，需，即≥－3且≠－2. 【总结】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义. 知识点05函数的几种表达方式 　表示函数的方法一般有以下三种： 　　（1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联