第09讲 平面向量数量积的坐标表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第9讲 平面向量数量积的坐标表示 知识点1 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 注：(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． 知识点2 向量垂直与向量平行的坐标表示 向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点 非零向量 坐标表示 记忆口诀 垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 对应相乘相加和为0 平行 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 交叉相乘相减差为0 知识点3 平面向量的模的坐标表示 (1)平面向量的模的坐标公式 设，则或，其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． (2)平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么，其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． 知识点4 平面向量夹角的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 知识点5 平面向量投影的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 考点一 平面向量数量积的坐标运算 解题方略： 平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．　　　　 【例1】已知，，则=___________. 【解析】由题意可知：， 变式1：设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12　　　B．0 C．－3 D．－11 【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 变式2：设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　) A．11 B．5 C．－14 D．10 【解析】a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3). 所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A. 变式3：已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________. 【解析】因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝ ＝2. 又|b|＝，向量a与b的夹角为60°， 所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10. 答案：10 变式4：a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　) A．23　　　B．57 C．63 D．83 【解析】3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D. 变式5：已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 变式6：若向量与向量共线，则___________. 【解析】因为， 所以，解得 所以 故答案为：. 变式7：已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________. 【解析】依题意得a＋b＝(3, k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1， 所以a·b＝2＋2k＝4. 答案：4 变式8：设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　) A．－　　　B．－ C. D. 【解析】 a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝ 故选D. 变式9：已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________． 【解析】因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3,4)或c＝(4,3)． 【例2】在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________. 【解析】设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(