7.3.5已知三角函数值求角-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.3三角函数的性质与图像 7.3.5 已知三角函数值求角 知识梳理 一．利用三角函数线求角 在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小． 二．利用三角函数图象求角或角的范围 用三角函数的图像解sin x>a(或cos x>a)的方法： （1）作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图像； （2）确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值； （3）选取一个合适周期写出sin x>a(或cos x>a)的解集，要尽量使解集为一个连续区间． 三．已知三角函数值求角的符号表示 （1）任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin y. （2）在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个(参见下图或余弦曲线)，这个x记作arccos y，即x＝arccos y； （3）在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个(参见图下图或正切曲线)，这个x记作arctan y，即x＝arctan y. 常见考点 考点一 已知正弦值求角 典例1．已知△ABC的内角A满足，则A等于（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】 直接由正弦值与角的范围求解即可 【详解】 ， 则A等于或 故选：D 变式1-1．与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出集合中角的终边，即可求解. 【详解】 当时，角的终边为第一或第二象限角平分线， 即 ， 所以集合相等的集合为， 故选：C 变式1-2．，则角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知角的三角函数值，求出内角的值，然后加周期即可 【详解】 当时，根据已知特殊角的三角函数值可知，，则或，所以角的集合是 故选：D 变式1-3．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据反正弦函数的概念，可得结果. 【详解】 ∵，且 ，∴. 故选：B 【点睛】 本题考查反正弦函数，属基础题. 考点二 已知余弦值求角 典例2．设，且，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】 由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】 因为，且， 则或. 故选：A 【点睛】 本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 变式2-1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据角的范围，以及该角的余弦值，可得结果. 【详解】 ∵且， ∴. 故选：B 【点睛】 本题主要考查给出余弦值求角，属基础题. 变式2-2．方程在上的解的个数为______. 【答案】3 【分析】 先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数. 【详解】 因为，故， 故，令，故， 故答案为：3. 变式2-3．已知.当时，求； 【答案】. 【分析】 由值的正负确定是钝角，根据余弦函数的性质求出； 【详解】 ∵， ∴是钝角， ∴ 【点睛】 本题主要考查了由三角函数值求角，属于中档题. 考点三 已知正切值求角 典例3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由,且,可求得的值. 【详解】 ∵,且, ∴. 故选:C. 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值,注意角的范围,属于基础题. 变式3-1．在方程的所有解中，最小正解是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正切值为1，可得，化简即可得解. 【详解】 由得：， 解得：， 取，得最小正解. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了解三角函数方程，利用了整体代换的思想，属于基础题. 变式3-2．若，则在区间上解的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 根据，可得，再根据，求得x的值，即可得出答案. 【详解】 解：因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以在区间上解的个数为4个. 故选：B. 变式3-3．若，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由得，再由可得，再利用正切的反三角函数可求出的值 【详解】 因为， 所以. 又， 所以. 所以. 故选：C. 【点睛】 此题考查已知三角函数值求角，利用了反三角函数，考查了数学转化思想，属于基础题. 巩固练习 练习一 已知正弦值求角 1．已知，且，则x的取值集合为______. 【答案】 【分析】 直接利用正弦函数的性质求解即可 【详解】 因为，且， 所以或， 所以x的取值集合为， 故答案为： 2．已知，，则的值为_________________． 【答案】或. 【分析】 根据给定条件求出角所在区域，再求出正弦值为所对锐角即可计算作答. 【详解】 因，，则有或，又， 于是得或，