7.3.4正切函数的性质与图象-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.3三角函数的性质与图像 7.3.4 正切函数的性质与图象 知识梳理 一．正切函数的定义 对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为正切函数. 二．正切函数的性质 1.正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R. 2.正切函数y＝tan x是奇函数 3.正切函数y＝tan x周期为的周期函数. 4.正切函数y＝tan x在每一个开区间上都是单调递增的. 5.正切函数y＝tan x的零点是 三．正切函数的图象 1.的周期是，所以正切函数在上的函数图象与其在上的函数图象完全相同，因此不难得到正切函数的图象，如图所示. 2.y＝tan x的函数图象称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心为 常见考点 考点一 定义域 典例1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合正切的三角函数的定义域计算即可. 【详解】 由 故选：A 变式1-1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据求解，即可得出结果. 【详解】 为使函数有意义，只需， 即， 所以函数定义域为：. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型. 变式1-2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 将看成整体，由正切函数的定义域，知，求出的取值范围，得到答案. 【详解】 令，则， 故选：B. 【点睛】 本题考查了正切型函数的定义域的求法，属于基础题. 变式1-3．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】 解不等式，得， 因此，函数的定义域是. 故选：B. 【点睛】 本题考查正切型函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 考点二 值域与最值 典例2．函数的值域是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先判断出函数在单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可. 【详解】 解：因为函数在单调递增， 且， 则所求的函数的值域是. 故选：C. 【点睛】 本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 变式2-1．函数f（x）=tan2x在[-，]上的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 根据正切函数的单调性可得最值，进而即可求解． 【详解】 解：函数f（x）＝tan2x在[，]上是单调递增函数， 可得f（x）max＝tan（2）； 可得f（x）min＝tan（﹣2）； ∴最大值与最小值的差为2； 故选A． 【点睛】 本题考查正切函数的单调性的应用，属于基础题． 变式2-2．函数，的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先由的取值范围求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得； 【详解】 解：因为，所以 因为在上单调递增，所以 即 故选：A 变式2-3．函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用正切函数的定义域和值域，求得该函数的值域． 【详解】 解：对于函数，，， ， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查正切函数的定义域和值域，属于基础题． 考点三 周期性 典例3．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用周期公式求解 【详解】 函数的最小正周期为. 故选：C. 变式3-1．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】 函数的最小正周期是 ， 故选：A. 变式3-2．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题可根据三角函数的周期计算公式得出结果. 【详解】 因为函数， 所以最小正周期， 故选：D 变式3-3．函数的周期为（ ） A．2π B．π C． D． 【答案】C 【分析】 根据正切函数的最小正周期的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，根据正切函数的最小正周期的计算公式， 所以函数的最小正周期为. 故选：C. 考点四 对称性 典例4．函数的图像的对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据正切函数的对称中心是，求出的图像的对称中心，即可得到答案. 【详解】 解：根据正切函数的对称中心是， 令，解得，； 所以函数的图像的对称中心为 故选：D 变式4-1．函数的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 解方程，，即得解. 【详解】 函数中， 令，； 解得，； 所以时，的一个对称中心是，． 故选：A． 【点睛】 方法点睛：求函数，只需解方程. 注