7.3.3余弦函数的性质与图象-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.3三角函数的性质与图像 7.3.3 余弦函数的性质与图象 知识梳理 一．余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，因此y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数 二．余弦函数的性质 1．定义域与值域：余弦函数y＝cos x的定义域是，值域是，当且仅当时，函数值的最大值是1，当且仅当时，函数值的最小值是－1. 2．余弦函数y＝cos x是偶函数，其图像关于y轴对称． 3．余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是. 4．余弦函数y＝cos x在区间上递增，在上递减． 5．余弦函数y＝cos x的零点为 三.余弦函数的图象 1．一般地，函数y＝cos x的图像称为余弦曲线．根据cos x＝sin，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像． 2．余弦函数y＝cos x的图像对称轴为，对称中心为，其中k∈Z. 常见考点 考点一 周期性 典例1．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意得，再代入三角函数的周期公式求解． 【详解】 根据三角函数的周期公式得， 函数的最小正周期是， 故选：． 变式1-1．函数最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定条件直接利用正余弦型函数周期公式计算即得. 【详解】 因函数，则，， 所以函数最小正周期为 故选：D 变式1-2．函数，的最小正周期是（ ） A．2π B．π C． D． 【答案】B 【分析】 根据公式直接求解即可. 【详解】 解：根据三角函数的周期公式得函数的最小正周期为. 故选：B 变式1-3．函数（）的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由余弦型三角函数的周期公式计算． 【详解】 最小正周期为． 故选：B． 考点二 对称轴与对称中心 典例2．函数的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据余弦函数的对称轴可得，解方程即可求解. 【详解】 ，，则有， 当时，的一条对称轴方程为． 故选：C 变式2-1．函数的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由余弦函数的对称轴为，应用整体代入法求得对称轴为，即可判断各项的对称轴方程是否正确. 【详解】 由余弦函数性质，有，即， ∴当时，有. 故选：A 变式2-2．函数图象的对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令可得结果. 【详解】 令，解得，则图象的对称中心为． 故选：D. 变式2-3．函数的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 计算余弦型函数的对称中心，然后直接进行判断即可. 【详解】 令，则 所以函数的对称中心为 令，所以函数的一个对称中心是 故选：B 【点睛】 本题考查余弦型函数的对称中心，属基础题. 考点三 增减区间 典例3．函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据余弦函数的性质，令求解. 【详解】 令， 解得， 所以函数的单调减区间是， 故选：A 变式3-1．已知函数，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由，令，，求出的取值范围，可得答案. 【详解】 解：由， 令，， 解得：， 故函数的单调递减区间是， 故选：A. 变式3-2．函数的单调递增区间是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【分析】 根据余弦函数单调性，解不等式得到答案. 【详解】 ，令， 解得，. 故选：B. 变式3-3．下列区间是函数的单调递减区间的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取， 得到，对比选项得到答案. 【详解】 ，取，， 解得，，当时，D选项满足. 故选：D. 考点四 由余弦型函数对称性求参数 典例4．如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解. 【详解】 因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有， 于是得，显然对于是递增的， 而时，，，当时，，， 所以|φ|的最小值为. 故选：A 变式4-1．如果函数的图象关于直线对称，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：的表达式，进而得到的最小值． 【详解】 由题意函数的图象关于直线对称， 则有 解得 ＝kπ，k∈Z， 所以由此得|min． 故选：A