6.2.1 向量的加法运算-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 复习导入 我们知道数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.下面先学习向量的加法. 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成.能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 思考1：如图，某质点从点经过点到达点，这个质点的位移如何表示？ 新知探索 物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点直接到点的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的.数的加法启发我们,从运算的角度看，可以看做是与的和,即位移的合成可以看做向量的加法. 如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即. 新知探索 求两个向量和的运算，叫做向量的加法，这种求向量和的方法称，为向量加法的三角形法则.位移的合成可以看做向量加法三角形法则的物理模型. 我们再来看力的合成问题.(首尾连，起指终) 思考2：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受合力吗？ • 我们知道，合力在以为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法. 新知探索 如图，以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作□，则以为起点的向量(是□的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.(共起点，对角线) 思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 对于零向量与任意向量，我们规定： 例析 例1.如图，已知向量，，求作向量. 解： 作法1：在平面内任取一点(如下图1)，作，.则. 作法2：在平面内任取一点(如下图2)，作，.以为邻边作平行四边形□，连接则 图1 图2 新知探索 思考4：(1)如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ (2)结合例1，探索之间的关系. 一般地，我们有当且仅当方向相同时等号成立. 当向量，不共线时，由三角形两边之和大于第三边可知：. 当向量，共线时，分两种情况： (1)若向量，同向共线，则：. (2)若向量，反向共线， 则：()；或(). 综上，有. 新知探索 根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算. 思考5：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图，作，，以为邻边作□，容易发现，，故. 又所以 综上，向量的加法满足交换律. 新知探索 思考6：由下图，你能否验证结合律，即呢？ 如图，作，，，根据三角形法则，容易发现. 又 所以 综上，向量的加法满足结合律. 新知探索 辨析1：判断正误. 1.. ( ) 2.. ( ) 3.. ( ) 4.. ( ) 5. ( ) 答案：√，√，√，×，×. 例析 例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； 解(1)：如图，表示船速，表示江水速度，以为邻边作□，则表示船实际航行的速度. 例析 例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东. (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方.向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°). 解(2)：在中， 于是 ∵所以利用计算工具可得 因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为 练习 题型一：向量加法法则的应用 例1.(1)如图甲所示，求作向量 (2)如图乙所示，求作向量. 解：(1)首先作向量，然后作向量 则向量如下图所示. 图甲 图乙 • 练习 解：(2)(三角形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量则向量然后作向量则向量，即为所求. (平行四边形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量以为邻