11.1 余弦定理（讲义）-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

11.1 余弦定理 课标要求 学习目标 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理 1.了解和掌握余弦定理； 2.能够运用余弦定理判断三角形的形状； 3.掌握共线向量与平行向量的概念。 知识精讲 一、余弦定理 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 2.余弦定理的推论 ，，。 【拓展】判断三角形的形状 设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边。 ； ； 。 【练一练】在△中，已知，求C. 二、余弦定理的应用 利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题： 1.已知三边，求三个角：此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角。 2.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角：此种情况的基本解法是先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角。 【练一练】在△中. （1）已知，，，求； （2）已知，，，求a； （3）已知，，，求A； （4）已知，，，求c. 重点探究 用余弦定理解三角形： 在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量。 【例1】（1）在△ABC中，已知，，且最大角为，求△ABC的三边长. （2）在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度. 【例2】在△ABC中， （1）已知，，，求c，B； （2）已知，，，求a，C； （3）已知，，，求最小的内角. 课堂练习 一、单选题 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．在△ABC中，，边上的高等于，则（ ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，,，则（ ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，内角所对的边分别为，若， 则（ ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．在三角形中，，则大小为（ ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，角，，所对边的长分别为，，．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ） A． B． C． D． 10．在△ABC中，若，则a的值可以为（ ） A． B． C．· D． 11．在△ABC中，已知，且，则c的值可以是（ ） A．4 B．8 C．2 D． 12．在△ABC中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________. 14．在△ABC中，∠A=60°，AB=1，AC=2，则BC=___________. 15．在锐角△ABC中，，，且，则______． 16．在△ABC中，角所对的边分别为，若，，，则角C的大小为__________． 四、解答题 17．在△ABC中，求证： 18．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，若a=4，b+c=6，且b<c，求b，c的值. 19．在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状. 20．在△ABC中 （1）已知b＝8, c＝3, A＝60°，求a； （2）已知a＝2, b＝， c＝＋1，求A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $11.1 余弦定理 课标要求 学习目标 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理 1.了解和掌握余弦定理； 2.能够运用余弦定理判断三角形的形状； 3.掌握共线向量与平行向量的概念。 知识精讲 一、余弦定理 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 2.余弦定理的推论 ，，。 【拓展】判断三角形的形状 设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边。 ； ； 。 【练一练】在△中，已知，求C. 【答案】 【分析】由已知条件，结合余弦定理可得，即可求C. 【解析】由，而， ∴，，则. 二、余弦定理的应用 利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题： 1.已知三边，求三个角：此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用余弦定