第08讲 平面向量数乘运算的坐标表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第8讲 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点1 平面向量运算的坐标运算 运算 坐标表示 任一向量的坐标 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）． 向量的加法、减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）． 向量的数乘运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数． 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 知识点2 平面向量共线的坐标表示 （1）向量a，b共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 注：a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0． （2）向量共线的坐标表示的推导 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 即a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0. ②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 注：判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线. 考点一 平面向量的数乘运算的坐标运算 解题方略： （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 【例1】已知向量，则___________ 【解析】，，故答案为： 变式1：如果向量，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，，故选：B 变式2：已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　) A．(1，－2) B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0) 【解析】b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A. 变式3：若向量，，，则___________. 【解析】由已知．故答案为：． 变式4：设，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以，则. 故选：D. 变式5：已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意知， 得， 所以， 故， 故选：D 变式6：若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________. 【解析】∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴＝(2,3)，＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9) 变式7：在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______. 【解析】由题设，点是线段的中点， ∴. 故答案为： 变式8：已知平行四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【解析】平行四边形ABCD中，，， ，为中点， . 故选：C. 变式9：向量满足＋＝(－1，5)，－＝(5，－3)，则为（ ） A．(－3,4) B．(3,4) C．(3，－4) D．(－3，－4) 【解析】由＋＝(－1，5)，－＝(5，－3)，相减得2＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴＝(－6,8)＝(－3，4)． 故选：A 变式10：已知，，则等于（ ） A．(－2，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2) 【解析】因为，所以，而， 所以有，故选：D 变式11：若O(0,0)，A(1,2)，且＝2，则A′点坐标为(　　) A．(1,4)　　　　　B．(2,2) C．(2,4) D．(4,2) 【解析】设A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝(2,4)．故选C. 【例2】已知向量则（ ） A． B． C． D．5 【解析】∵向量 ∴， ∴. 故选：B. 变式1：若，，则（ ） A．2 B． C． D．5 【解析】∵，∴. 故选：D 变式2：设，，，，则（ ）. A． B． C． D． 【解析】设，则， 因为， 所以， 所以，解得，即， 所以， 所以， 故选：B 【例3】设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝