6.4.1平面几何中的向量方法 2021-2022学年高一下学期人教A版2019必修第二册同步练习

同步训练十一平面几何中的向量方法 基础巩固 一、选择题 1. 顺次连接点，，，所构成的图形是    A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】解：， ，又，，，四点不共线， 构成的图形是平行四边形， 故选A． 2. 在中，为边上的中线，为的中点，则        A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：因为点是线段的中点，所以． 根据向量的线性运算： ． 故选A． 3. 设平面上有四个互异的点，，，，已知，则是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】解：， ， 即，． 为等腰三角形． 故选B． 4. 如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：为的中点， ， ， ， 是的中点， ， ． 故选B． 5. （多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是则第四个顶点的坐标为          A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】解：设第四个顶点为， 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得，此时第四个项点的坐标为． 第四个顶点的坐标为或或． 故选：． 二、填空题 6. 正方形的边长为，为的中点，为的中点，则          ． 【答案】 【解析】解：由题意如图建立平面直角坐标系：   则，，，，，， ，， ， 故答案为． 7. 已知，，为圆上的三点，若，则与的夹角为          ． 【答案】 【解析】解：由题易知点为的中点，即为圆的直径， 故在中，边对应的为直角， 即与的夹角为． 故答案为： 三、解答题 8.  已知，，是平面上不共线的三点，直线上有一点，满足， 用表示 若点是的中点，证明四边形是梯形． 【答案】解：因为， 所以， ， 所以． 证明： 故． 故四边形为梯形． 9. 已知向量，满足，，且，求的坐标； 已知，，，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 【答案】解：设，则 解得，或 于是，或． 是直角三角形，为直角． 证明：， ， ， ， ， ，即是直角三角形，为直角． 能力提升 10. 如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，， 则，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 当时，， 即的最小值为． 故选D． 11. （多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有 A. 若，则点为的重心 B. 若，点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 若，则点为的内心 【答案】AC 【解析】解：选项A，设为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点靠近点，所以为的重心； 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心； 选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是为的外心； 选项D，由得， ，即， 同理可证，， ，，，即点是的垂心； 故选：． 12. 设点是边长为的正三角形的三边上的动点，则的取值范围为          ． 【答案】 【解析】解：以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 可得，，， 当点在线段上时，设，， 则，，， 即有 ， 由可得当时，取得最小值； 当时，取得最大值， 则所求取值范围为； 当在线段上时，设，， 则，，， 即有 ， 由可得当时取得最小值； 或时，取得最大值， 则所求取值范围为； 当在线段上时，设，， 则，，， 即有 ， 由可得当取得最小值； 当时，取得最大值， 则所求取值范围为． 综上可得的取值范围是． 故答案为． 13.  如图，在中，已知，直线过的重心，且与边分别交于两点，则的最小值为          ． 【答案】 【解析】解：设， 因为是的重心， 所以 ， 又因为，，三点共线， 所以，即， 同理： ， 又， 因为，，， 所以，， ， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为． 14. 如图，在矩形中，点是边上中点，点在边上． 若点是上靠近的三等分点，设，求的值． 若，，当时，求的长． 【答案】解： ， 又， ，，． 以，为，轴建立直角坐标系如图：，， 则，，， 设，， ，， ， ， ， ． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $同步训练十一平面几何中的向量方法 基础巩固 一、选择题 1. 顺次