6.3.2 二项式系数的性质（讲义）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

②当r=0,3,6,9,12时,T1是有理项,分别为T1 因式提供x2,其余的3个因式中有1个提供(-x) x2,T=—C2x3=-220x3,T=C2x2=924x,T0= 有2个因式都提供(-2);也可以是从4个因式中选 C2=-220,T3=C1x 3个因式都提供(-x),剩余的1个因式提供(-2) 故x2的系数为C·C(-1)·C2(-2)2+C8(-1)· 例题3]解析(1)(x-)的展开式的通项为T 2)=-48+8 3)x 因为第6项为常 数项,所以当r=5时,有”。2=0,即n=10 随堂·演练落实 (2)由(1)知通项为Tm=C1(-3),令10=21.B解因为(x+2)的 的展开式共有n+6项,所 以n+6=16,所以n=10.故选B项 所以所求的系数为C0(-3)2=405 2D盛(x2)的展开式的通项为T:=Cr (3)由(1)知通项为T+1=C(-3)x 2)Cx3,令6-3r=0,得到r=2,所 所以第4项的二项式系数为C=120,第4项的系 数为C10(-3)=-120×27=-3240 的展开式中常数项为(-2)2C=60.故 变式3解析(1)(x 的展开式的通项为T 选D项 3.解析由n=6可知中间项是第4项,由通项公式可得 C(-2)x2,r≤7,r∈N.令7-2r=3,得r=2,则 展开式中x3的系数为(×(一2)2=84.故选B项 (2)易知(x2-)的展开式的通项为T+1=C 答案-160x3 =(-)Cx,当k=3时,T= 4解析(2x 的展开式的通项为T1=C(2x)° (-2)(x=-2x,所以第4项的二项式系数 为(=84,第4项的系数为 (1)T=(23x3,第4项的二项式系数为C=20. 答案(1)B(284-2 (2)由(1)知第4项的系数为C·23=160 [练习1解析(1)因为(1+x)8的展开式中x2的系数为 (3)令6-3r=0,得r=2,故常数项为C ,(1+y)的展开式中y2的系数为C,所以xy2 6.3.2二项式系数的性质 的系数为CC=168.故选D项 (2)x的系教为C+C+C+…+C=C+C+课前教材预案 问题1提示在同一行中,每行两端都是1,与这两个1 答案(1)D(2)330 等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以 练习2]解析方法一因为(x2-x-2)+=(x-2) 外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 问题2提示2,4,8,16,32,64,…,其系数和为2° 2)2+(·x·(-2)3+(·(-2)]·(·x4+C·[问题3提系n=2,4,6时,中间一项最大,n=3,5时 x3+C·x2+C·x+C4),所以x的系数为—2C 中间两项最大 C4+4C·C8+(-8C4)·C2+16C4·C4=-40 [思考]提示系数最大的项不一定是二项式系数最大的 方法二因为(x2-x-2)表示4个因式(x2-x-2) 项,只有当二项式系数与各项系数相等时,二者才 的乘积,所以x3的系数可以是从4个因式中选1个 致 ·128· [微辨析]解析(1)错误.二项展开式中项的系数与二项 (3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项 (共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数 的最大值与项的其他数字因数的大小有关 由①②得a+a+…+a0=(2=3)=(2+3 (2)错误.在二项式(a+b)中只有当a,b的系数都 4)原式=[(a+a2+…+a10)+(a1+a3+… 为1时,展开式的偶数项系数和才等于奇数项系 a)×[(a 数和 (an+a1+a2+…+a1m)×(a0-a1+a2-a3+… (3)错误.二项式系数是随n的增加先增后减的,二 项展开式项的系数和a,b的系数有关 =[(2-√3)×(2+√3]10=1=1. 4)正确.根据杨辉三角的特点可知说法正确 答案(1)×(2)×(3)×(4)√ (5)因为T1=(-1)C021(3)x 课堂·深度拓展 所以a2k-1<0(k∈N),a2k>0(k∈N) 所以a0|+a1|+|a2|+…+|a=an-a1+a2 例题1B(1)二项(+2)的展开式中第5项 a3+…+a1m0=(2+3). 的二项式系数最大,因此由T=C8 [变式2解析(1)(5x+4)=a0+a1x+a2x2+a3x3,所 1,得(-1)3 x,可知此项的系数为 a2)-(a1+a3)=-1.故选A项. (2)由题意设二项展开式的第r+1项的系数最大 (2)(mx+x)的展开式中,各二项式系数和为2n 32,所以n=5.令x=1,可得各项系数的和为(m+ 解得7≤r≤8 1)=243=3,所以m=2,所以(mx+√x)”=(2x+ √x)5,其展开式的通项为T1=