第03讲 平面向量的应用（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第3讲 平面向量的应用(核心考点讲与练) 一.向量在平面几何中常见的应用 ， （1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式：，例如证明,只要证明或. （2）证明直线或线段平行，用向量共线定理： （3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或,即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可. （4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：. 例如证明,只要证明. （5）求夹角问题，利用夹角公式：cos＝＝． 二.向量在物理中的应用 （1）向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度，加速度及位移 速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. （3）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，，动量实际上是数乘向量. 三.正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： （为的外接圆半径） 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状： ①勾股定理是余弦定理的特殊情况，. ②在中，，所以为锐角； 若，，同理可得角、为锐角. 当，，都成立时，为锐角三角形． ③在中，若， 所以为钝角，则是钝角三角形． 同理：若，则是钝角三角形且为钝角； 若，则是钝角三角形且为钝角． 四.三角形面积公式 1．（表示边上的高）； 2．； 3．； 4．； 5. 考点一：向量在平面几何中常见的应用 例1．（2021·全国·高一课时练习）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可. 【详解】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示， 要使得游船正好到达处，则，即， 又因为，所以， 故选：D. 例2．（2021·全国·高一课时练习）设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点M是边BC的中点 C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心 D．若，则点M在边BC的延长线上 【答案】AB 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可. 【详解】对于选线A，如图作的中点，连接， 由，得， 即，结合三角形性质易知，， 同理，，故的形状为等边三角形，故A正确； 对于选项B，由，得，即， 因此点M是边BC的中点，故B正确； 对于选项C，如图当过点时，， 由，得，则直线经过的中点， 同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误； 对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错. 故选：AB. 例3．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________. 【答案】 【分析】设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解. 【详解】设，，，，，， 则，， 整理得：，所以， 则，解得：， 所以， 故答案为：. 例4．（2021·全国·高一课时练习）点为内一点，，则的面积之比是___________. 【答案】 【分析】先将已知的向量关系式化为，设为中点，为中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出，从而可知三点共线，且，进而得出，，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比. 【详解】解：因为，所以， 设为中点，为中点，为三角形的中位线，则， 因为， 可得，所以三点共线，且， 则，， 分别设， 由图可知，，， 则，所以，而，所以， 所以，， 所以， 即的面积之比等于. 故答案为：. 例5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为