第02讲 平面向量的基本定理及坐标运算（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算(核心考点讲与练) 一、平面向量的基本定理 1.平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使． 2.基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作．叫做向量关于基底的分解式． 注：①定理中，是两个不共线向量； ②是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底． 3.平面向量基本定理的证明： 在平面内任取一点，作，，． 由于与不平行，可以进行如下作图： 过点作的平行（或重合）直线，交直线于点， 过点作的平行（或重合）直线，交直线于点， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和 分别有，， 所以 证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则， 即，由于与不平行，如果与中有一个不等于， 不妨设，则， 由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，，即，． 4‘证明，，三点共线或点在线上的方法： 已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一定在上． 证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使， ∴ 设点满足等式，则，即在上． 其中①式可称为直线的向量参数方程式 5.向量的中点的向量表达式：点是的中点，则．可推广到中，若为边中点，则有存在． 二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算： 1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 2.向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 3.向量的直角坐标运算： 设，，则 ①；②；③ 注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； ② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积． 4.坐标含义：若，，则向量；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标． 5.用平面向量坐标表示向量共线条件： 设，，则就是两个向量平行的条件． 若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例． 考点一：平面向量基本定理 例1．（2022·四川达州·高一期末）已知，分别是的边和的中点，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的基底表示与线性运算计算. 【详解】如图，因为，分别是的边和的中点， . 故选：D 例2．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解. 【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示， 根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 例3．（2022·辽宁锦州·高一期末）已知，，，点M满足且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用，将用表示，利用也将用表示，再通过平面向量基本定理可得；根据向量的线性运算可判断CD. 【详解】 ，三点共线且为中点， ，， ， 三点共线且为上靠近A的三等分点， ，， ， ， ，，A正确，B错误； ， C正确； ，D不正确. 故选：AC. 例4．（2020·浙江义乌·高一期末）已知平面向量，的夹角为，且，，在△中，，，D为BC的中点，则______． 【答案】2 【分析】用表示出，由已知条件结合向量数量积的运算律求 . 【详解】△中，由D为BC的中点，则， 又，平面向量，的夹角为， ∴. 故答案为：2. 例5．（2021·北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，则___________. 【答案】 【分析】根据向量的加减运算化简可得. 【详解】因为， 则， 所以，则. 故答案为：. 例6．（2022·辽宁营口·高一期末）如图所示，中，F为BC边上一点，，若， （1）用向量、表示； （2），连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值． 【答案】（1）（2）， 【分析】（1）由得，进而得答案； （2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，． （1）解：因为， 所以，即， 所以 （2）解：若，，则， 所以 由于， 所以，，解得，． 所以，． 考点二：平面向量的正交分解及坐标表示 例1．（2021·全国·高一课时练习）若，，，则=（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算求解. 【详解】∵ ∴ 故选：A. 例2．（2021·全国·高一课时练习）已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（