2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 问题导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24围成的矩形区域的面积要大于则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为，则另一条边为.由题意，得：其中 整理得：① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案. 新知探索 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，. 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 新知探索 下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系. 如图，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与轴有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根因此二次函数与轴的两个交点是和. 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.于是，二次函数的两个零点是. 新知探索 从图可以看出，二次函数的两个零将轴分成三段.相应地，当或时，函数图象位于轴上方，此时，即当时，函数图象位于轴下方，此时，即所以，一元二次不等式的解集是. 因为因此当围成的矩形的一条边长满足时，围成的矩形区域的面积大于 新知探索 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式()和()的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 我们知道，对于一元二次方程()，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次函数()的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式()和()的解集. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 有两个不相等的实数根 没有实数根 的解集 或 的解集 例析 例1.求不等式的解集. 解：对于方程， ∵，∴它有两个实数根.解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式