第10讲 抛物线（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第10讲 抛物线(核心考点讲与练) 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 3．抛物线一些常用结论 (1)抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． (2)y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－． (3)通径长度为2p（过抛物线焦点的弦中通径最短）； (4) 设抛物线方程：，过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于． 联立方程：，整理可得： （1），； （2），，； （3）为定值； （4）以为直径的圆和抛物线的准线相切于，以为直径的圆与相切于； （5） ； （6）； （7），，三点共线； （8）被抛物线平分． 考点一：抛物线及其标准方程 例1．（2020·上海市行知中学高三开学考试）抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 故选：D. 例2．（2021·上海静安·一模）以坐标原点为中心的椭圆的长轴长等于8，且以抛物线的焦点为一个焦点，则该椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得椭圆的焦点坐标，值，再由长轴长求得，从而得椭圆方程． 【详解】由抛物线方程知，抛物线焦点坐标为，所以椭圆中，又，，所以，焦点在轴， 所以椭圆方程为． 故选：D． 例3．（2021·上海松江·一模）若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________. 【答案】5 【分析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解. 【详解】因为抛物线方程为， 所以准线方程为， 所以点到准线的距离为， 故点到该抛物线焦点的距离. 故答案为： 例4．（2021·上海嘉定·一模）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线：的左顶点为，若双曲线C的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为____________. 【答案】 【分析】利用抛物线焦点弦公式求得，从而得的坐标，由题意得的坐标，再计算直线的斜率，又因为双曲线渐近线方程，由两直线垂直列式求解，从而得双曲线的焦距. 【详解】由抛物线定义可知，，得，所以抛物线方程为，则或，设，由题意得，则，又因为双曲线渐近线方程为，因为双曲线C的一条渐近线与直线垂直，所以，得，则，所以双曲线的焦距为. 故答案为： 例5．（2021·上海金山·一模）已知､､､…､是抛物线上不同的点，点，若，则___________ 【答案】40 【分析】设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义可得，从而可求得结果. 【详解】设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， ､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为， . , , . 故答案为：40. 例6．（2021·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、. （1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2）若，求的值； （3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由. 【答案】（1）（2）（3）一个，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长； （2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用焦半径公式及已知，得出的关系，与韦达定理结合可求得； （3）把用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于的方程，由一元二次方程根的分布可得的正数解的个数． （1）根据抛物线定义，，∴. （2）直线的方程为， 由 ，，， ， ， ， ， 代入（5）得：， （舎）或，∴ . （3）∵ 是以为斜边的直角三角形， ∴ ，， , ， 即， ， （或者）， ∴ ，， ， ，方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点. 例7．（2022·上海市延安中学高二期末）已知抛物线. （1）若抛物线C上一点P的纵坐标为，求点P到焦点F的距离； （2）将抛物线C按照向量表示的方向和大小平移后得到曲线，求的方程. 【答案】（1）（2）