第09讲 双曲线（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第9讲 双曲线(核心考点讲与练) 1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支． 2、标准方程： ① 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中． ② 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中． 3、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例： （1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长； ：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长； ：与焦点有关：，称为焦距． （2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称． （3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或，． （4）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线． ①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关 于的直线即可．例如在中，求渐近线即解：，变形为 ，所以即为双曲线的渐近线． ② 渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线 的渐近线． ③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系． （5）通径： ① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段 ②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴， （6）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中） 考点一：双曲线及其标准方程 例1．（2021·上海浦东新·一模）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 例2．（2022·上海·高三专题练习）设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设,所求式表示,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最小值. 【详解】， 设,上式表示,由于双曲线的左焦点为, 双曲线的实轴,, , ,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为. 故选：B 例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特点列出不等式，求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 故， 解得. 故答案为：. 例4．（2021·上海长宁·一模）已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________ 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线的定义求解即可. 【详解】解：如图，设的边长为，， 因为为等边三角形，所以， 由双曲线的方程知， 所以由双曲线的定义得， 即，解得，. 所以的边长为. 故答案：. 例5．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点，若，那么点的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据可得点的轨迹为双曲线. 【详解】设点的坐标为 因为 所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线 且 所以 所以点的轨迹方程为： 故答案为： 例6．（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点. （1）已知点，求点D到直线MN的距离； （2）求证：； （3）若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）（2）证明见解析（3）是定值. 【分析】（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离. （2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立. （3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值. （1）， 所以，则， 直线的方程为，即， 所以到直线的距离为. （2）直线的斜率不存在时，， 直线的斜率存在时，，，整理得. 综上所述，成立. （3）依题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，代入双曲线并化简得： ①， 由于，则代入①并化简得： ， 设，则，代入， 得，即， 所以 ， 所以是定值. 例7．（2021·上海青浦·高二期末）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中