第08讲 椭圆（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第8讲 椭圆(核心考点讲与练) 1、定义和标准方程： （1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距．若设动点为，则 ①当时，动点的轨迹是椭圆． ②当时，动点的轨迹是线段． ③当时，动点的轨迹不存在． （2）标准方程： ①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中 ②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中 （3）椭圆的参数方程 ①椭圆的参数方程是 ②椭圆的参数方程是 2、椭圆的性质： 以焦点在轴的椭圆为例： （1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长 ：与短轴的顶点有关：，称为短轴长 ：与焦点有关：，称为焦距 （2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设，则 （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 ② 过焦点且与长轴垂直的弦（称为通经，为最短的过交点的弦） （5）焦半径：称到焦点的距离为椭圆的焦半径：焦半径的最大值为，最小值为 （6）焦点三角形面积：（其中） 因为，所以，由此得到的推论： ① 的大小与之间可相互求出 ② 的最大值：最大最大最大为短轴顶点 （7）椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 3、点与椭圆的位置关系 已知点与椭圆（，为椭圆的焦点），则 （1）点在椭圆上； （2）点在椭圆外； （3）点在椭圆内． 考点一：椭圆及其标准方程 例1．（2021·上海市长征中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是__________． 【答案】 【分析】利用椭圆定义即可得到椭圆的标准方程. 【详解】解：根据题意，椭圆的焦距是，焦点在轴上，则其焦点坐标为与， 其中， 又由椭圆经过点， 则 即， 则， 则椭圆的标准方程； 故答案为：． 例2．（2019·上海市西南位育中学高二期中）设椭圆的左､右焦点分别为､，上顶点为B，若，则该椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】直接利用椭圆中a､b､c的关系，求出椭圆的方程. 【详解】解：由于椭圆的左､右焦点分别为､，上顶点为B，若， 所以，解得，，故椭圆的方程为. 故答案为：. 例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】由题意设椭圆方程为，则有，再结合求出，从而可求出椭圆的方程 【详解】由题意设椭圆方程为，则 ，解得， 所以椭圆方程为， 故答案为： 例4．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于，两点，且坐标原点关于点的对称点记为； （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值； （3）设点为点关于轴的对称点，求证：，，三点共线； 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆焦点和椭圆所过的一个点列方程组求解； （2）由，得，设，由能推导出面积的最大值； （3），通过计算可得结果. 【详解】解：（1）因为椭圆的一个焦点为，点在椭圆上， ， 解得， 所以椭圆的方程为； （2）设过点的直线方程为， 由，得， 设， 则， 由条件可知点， ， 令，则， 则， 当且仅当，即（此时PQ垂直于x轴）时等号成立， 所以的最大值为； （3）， 由 所以与共线， 即，，三点共线. 例5．（2021·上海·上外浦东附中高三阶段练习）如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为． （1）求椭圆段的方程； （2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程； （3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）设椭圆方程，根据，即可求得方程； （2）根据， ，设点建立方程组求解M坐标即可得到直线方程； （3）根据题意，转化为求的范围. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由图可得， 所以，所以， 椭圆段的方程：； （2）由题，所以，设， ，解得：或（舍去） 所以或， 所以直线l的方程：或； （3）若， ， 当M点在右侧圆弧上时，， 当M点在左椭圆弧上时，， 所以 例6．（2021·上海·闵行中学高三期中）如图，椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点． （1）若轴，求的值； （2）若，求