解密10 等差数列、等比数列(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

解密10 等差数列、等比数列 考点热度 ★★★★★ 内容索引 核心考点1 等差数列、等比数列的基本运算 核心考点2 等差数列、等比数列的判定与证明 核心考点3 等差数列、等比数列的性质 核心考点4 等差数列与等比数列的综合 核心考点5 等差数列与等比数列的创新问题 高考考点 三年高考探源 预测 等差数列 2021全国甲卷文理18 2021全国乙卷理19 2020新课标全国II 3 2020新课标全国II 14 2019新课标全国Ⅰ 18 2019新课标全国Ⅲ14 从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用. 等比数列 2021全国甲卷理7 2021全国甲卷理9 2020新课标全国Ⅲ17 2020新课标全国Ⅰ 10 2019新课标全国Ⅰ 14 2019新课标全国II 18 2019新课标全国Ⅲ6 等差数列与等比数列的综合 2021全国乙卷文19 2020新课标全国Ⅰ 16 核心考点一 等差数列、等比数列的基本运算 考法 等差数列、等比数列的基本运算 变式一 等差数列基本量的计算 1、（2022·河南洛阳·一模（文））已知数列是等差数列，且，则其前七项和（ ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】C 【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出，然后利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质以及可知，，即， 从而. 故选：C. 2、（2021·广东天河·高二期末）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案. 【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差， 则 所以解得 所以最大项. 故选：C 变式二 等比数列基本量的计算 1、（2021·云南·高三期中（理））已知正项递增等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等比数列的性质可得，再由，可求出的值，从而可求出，进而可求得 【详解】因为递增等比数列中，， 所以， 又，解得或（舍去）， 所以，所以， 故选：C． 2、（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解. 【详解】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以. 故选：C. ☆技巧点拨☆ 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a1和公差d(公比q)． （2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 核心考点二 等差数列、等比数列的判定与证明 考法 等差数列、等比数列的判定与证明 变式一 等差数列的判定与证明 1、（2022·山西怀仁·高二期末（理））设为数列的前n项和，，且. （1）证明，数列为等差数列； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）根据与的关系，求得，即可得到答案； （2）求出，再利用错位相减求和，即可得到答案； （1）∵， ∴，整理得， 两边同时除以得，，首项， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得，即， 当时，， 当时，也满足上式，∴数列的通项公式为， 令数列的前n项和为﹐ 则①， 两边同时乘以2，得②， ①━②得： . ☆技巧点拨☆ 等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意： （1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 变式二 等比数列的判定与证明 1、（2021·湖北·武汉市第三中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为Sn，满足． （1）求证：数列是等比数列，并求数列