专题：全等三角形的基本模型（题型专攻）-2021-2022学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

2021-2022学年七年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（北师大版） 专题：全等三角形的基本模型 题型导航 ( 全等三角形的基本模型 ) ( 倍长中线模型 ) 题型1 ( 旋转模型 ) 题型2 ( 垂线模型 ) 题型3 题型变式 【题型1倍长中线模型】（2021·全国·八年级课时练习）如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：． 【答案】见解析 【详解】 解析：过点B作交CE的延长线于点F，由点E为AB中点，得到，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到与全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，即，再由，根据点B为AD中点，得到，利用外角性质及等量代换得到，利用SAS得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证． 答案：证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F． ∵CE是的中线，， ∴，，， 在和中， ∵ ∴（AAS）， ∴，， ∴， 又∵，CB是的中线， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴（SAS）， ∴． 易错：证明：在和中， ∴（ASA）． 错因：写错证明方法． 满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题． 【题型2旋转模型】（2020·湖北新洲·八年级期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【分析】 （1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】 （1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠=90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC= 【点睛】 本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键； 【题型3垂线模型】（2020·北京·清华附中七年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E． （1）求证：△BCE≌△CAD； （2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝BE+DE 【分析】 （1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD； （2）由全等三角形的性质可得BE＝DC，AD＝CE，即可求解． 【详解】 证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA， 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD（AAS）； （2）∵△BCE≌△CAD， ∴BE＝DC，AD＝CE， ∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE， 故答案为：AD＝BE+DE． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了余角的性质和勾股定理． 专项训练 一．解答题 1．（2020·江苏东台·八年级阶段练习）如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离． 【答案】6 【分析】 延长AD，过点C作于点F，证明，再根据全等三角形的性质得到． 【详解】 解：如图，延长AD，过点C作于点F， ∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点C到AD的距离是6． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的