第05讲 复数的三角表示-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第05讲 复数的三角表示 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1. 掌握复数的三角表示形式，能够进行复 数代数形式与三角形式的转化，掌握复数的三种表达形式之间的关系. 2. 通过对复数的乘与除运算的三角表示 及几何意义的理解，能进行复数三角形式的相关运算. 通过本节课的学习，要求理解复数的三角表示，接受复数三种形式的表达方式及其之间的关系，会用复数的三角表示形式做复数的乘与除的运算，理解复数三角表达形式的几何意义及复数三角运算的几何意义，能进行与复数相关的三角形式的运算. ( 知识精讲 ) 知识点 1 .复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。 适合于 0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0≤arg z<2π. 2.复数的三角表达式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3.两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4.复数三角形式的乘法及其几何意义 设 、的三角形式分别是： 简记为 ：模数相乘，幅角相加. 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5.复数三角形式的除法及其几何意义 设 、的三角形式分别是： 简记为 ：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【即学即练1】下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 复数的三角表示为：，其中，B选项满足. 故选：B. 【即学即练2】已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为（ ） A．1＋i B．2 C． D．－1＋i 【答案】D 【分析】 由复数对应向量与x轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z代数形式. 【详解】 设复数z对应的点为(x,y)，则 ，， ∴复数z对应的点为， ∴． 故选：D. 【即学即练3】复数的三角形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用诱导公式可得结果. 【详解】 由诱导公式可知， ， 因此，. 故选：B. 【即学即练4】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 由题意，复数和的辐角主值分别为， 则，所以 . 故选：D. 【即学即练5】．化下列复数为三角形式． （1）－1＋i； （2）1－i； （3）2i； （4）－1． 【答案】（1）2；（2）；（3）2 ；（4）cosπ＋isinπ． 【分析】 根据题中所给复数，先求得其模，以及福角正切，结合复数在复平面内对应点所属的象限，求得其辐角主值，得到结果. 【详解】 （1）a＝－1，b＝则r＝＝2，tanθ＝－， 而对应点M(－1，)在第二象限，θ的主值为， ∴－1＋i＝2． （2）a＝1，b＝－1，则r＝＝， tanθ＝－1， 而对应点M(1，－1)在第四象限，θ的主值为， ∴1－i＝． （3）2i的模是2，辐角主值是，故2i＝2． （4）－1的模是1，角主值是π，故－1＝cosπ＋isinπ． 【点睛】 关键点点睛：该题考查的是有关复数的代数形式向三角形式的转化，解题的关键是理解辐角主值，以及复数三角形式的本质. 【即学即练6】计算： （1）8·2； （2）12÷； （3）； （4）． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ； （4）． 【分析】根据复数的乘法、除法运算法则，结合两角和、差的正余弦公式，逐一计算，即可求得各题答案. 【详解】 （1）原式＝＝． （2）原式＝ =＝． （3）因为， 原式＝ （4）， 原式＝ = = ． ( 能力拓展 ) 考法01 复数的三角表示：(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． (2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”. 【典例1】复数的三角形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合复数的三角形式的概念可以直接求解. 【详解】 因为，辐角主