第04讲 复数的乘、除运算-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第04讲 复数的乘、除运算 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 通过本节课的学习，要求掌握复数的乘、除法的运算方法，掌握复数单位的应用价值，能用实数化的思想解决复数问题. ( 知识精讲 ) 知识点 复数的乘法及其运算律 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积 (a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则＝＝＋i. 【微点拨】(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算． (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似． （3）记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②＝－i，＝i；③＝－i. 【即学即练1】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意根据复数的几何意义得到，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得. 【详解】由题知，，则，所以，故选：D． 【即学即练2】在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ） A．﹣1 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】首先由坐标确定复数z，并化简，最后求出模长. 【详解】由已知复数z对应的点为（1，1），则, 因此,所以，故选：B. 【即学即练3】复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数，所以复数的虚部为，故选：A. 【即学即练4】如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为复数，对应的向量分别是，，则复数，因此点位于第二象限，选B 【即学即练5】已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．-2i C．1 D．i 【答案】A 【分析】根据复数模的计算公式及复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可判断其虚部； 【详解】因为，，所以，所以，所以复数的虚部为；故选：A 【即学即练6】若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法运算求出复数，从而可求的答案. 【详解】因为，所以，所以.故选：D. 【即学即练7】已知，是虚数单位，若，，则的值可以是（ ） A． B． C．－ D． 【答案】AB 【分析】根据复数的乘法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值. 【详解】，则，所以，， 解得.故选：AB. 【即学即练8】对任意复数为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】写出共轭复数，然后计算判断各选项． 【详解】由已知，因此，，．故选：BC． 【即学即练9】已知复数，其中是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．的模等于 B．在复平面内对应的点位于第四象限 C．的共轭复数为 D．若是纯虚数，则 【答案】BD 【分析】利用复数的除法，化简复数为，再逐项判断. 【详解】因为，所以，因此A项错误； 复数在复平面内对应的点为点，位于第四象限，B项正确； 的共轭复数，C项错误； 因为为纯虚数，所以， ，得，故D项正确．故选：BD 【即学即练10】已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A．若复数，则. B．复数满足，在复平面内对应的点为，则. C．若复数，满足，则. D．复数的虚部是1. 【答案】ABC 【分析】对于A，直接利用复数的除法运算求解，对于B，利用复数的模求解，对于C，直接复数的乘法运算求解判断，对于D，利用虚部的定义判断 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为在复平面内对应的点为，所以，因为，所以，所以B正确， 对于C，令，因为，所以，所以，所以C正确， 对于D，复数的虚部为，所以D错误，故选：ABC 【即学即练11】______. 【答案】 【分析】根据复数的运算规则计算. 【详解】根据复数的运算规则得，.故答案为：. 【即学即练12】______. 【答案】