第01讲 数系的扩充和复数的概念-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 数系的扩充和复数的概念 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 通过本节课的学习，要求掌握复数的概念及复数的代数表示方法，能利用复数相等的充要条件求待定参数. ( 知识精讲 ) 知识点 1.复数的概念及代数表示 (1)复数 ①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． (2)复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 2. 两个复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 3. 复数的分类 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： 【即学即练1】下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ③实数集是复数集的真子集． 其中正确说法的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【题点】　复数的概念及分类 【答案】　B 【解析】　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B. 【即学即练2】下列几个命题： ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0； ⑤－1的平方根只有一个，即为－i； ⑥i是方程x4－1＝0的一个根； ⑦i是一个无理数． 其中真命题的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【题点】　复数的概念及分类 【答案】　B 【解析】　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误． 【即学即练3】下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接根据范围的大小关系得到答案. 【详解】 根据范围的大小关系得到：. 故选：C. 【即学即练4】已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数． 【答案】　3或－2 【解析】　由题意知解得m＝3或－2. 【点睛】　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数． 【即学即练5】已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______条件． 【题点】　由复数相等求参数 【答案】　充分不必要 【解析】　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件． 【即学即练6】当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是(1)纯虚数；(2)实数． 【题点】　由复数的分类求未知数 【解析】　(1)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数， 则解得m＝4. (2)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数， 则解得m＝－2或m＝－3. ( 能力拓展 ) 考法01 复数的概念 【典例1】请说出下列复数的实部和虚部． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）0． 【答案】 （1）实部为2，虚部为3；（2）实部为，虚部为；（3）实部为，虚部为1； （4）实部为，虚部为0；（5）实部为0，虚部为；（6）实部为0，虚部为0. 【解析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案. （1）的实部为2，虚部为3. （2）的实部为，虚部为. （3）的实部为，虚部为1. （4）的实部为，虚部为0. （5）的实部为0，虚部为. （6）0实部为0，虚部为0. 【典例2】 (1)给出下列几个命题： ①若z∈C，则z2≥0； ②2i－1虚部是2i； ③2i的实部是0； ④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________． 【题点】　复数的概念及分类 【答案】　(1)C