6.3.1 平面向量基本定理PPT-2021-2022学年高一下学期数学同步教学（人教A版必修第二册）

温 故 知 新 2、实数与向量的积 1、两个向量的和（差）的求法 平行四边形法则 三角形法则 3、共线定理 向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ，使得 b =λa 3 引入 如何作出 e1 + e2 ? e1 e2 o A e1 B e2 C e1 e2 + OC可以在 e1 ，e2上分解吗？ 任意一个向量 a 是否可以在 e1 ，e2上分解? 4 e1 o A o1 B a o2 C e2 o A B C N M OM与OA共线 OM = λ1OA = λ1e1 同理ON= λ2OB = λ2 e2 ∴a = λ1 e1 + λ2 e2 向量分解： 5 平面向量基本定理 平面向量基本定理 注意： ③ λ1 ， λ2唯一。 ① e1 , e2 均为非零向量。 ② e1 , e2 不唯一（事先给出）。 ④ 当λ2 = 0时，a 与 e1 共线； 当λ1 = 0时，a 与 e2 共线； 当λ1 = λ2 = 0时，a = 0 动画 如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内的任意一个向量 a ，有且只有一对实数λ1 ， λ2使 ： 向量 e1 ，e2不共线，我们把{e1 ，e2 }叫做表示这个平面内的所有向量的一个基底。 a = λ1 e1 + λ2 e2 7 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面 内 向量的一个基底. 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量， 那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2. 知识点 平面向量基本定理 不共线 任一 有且只有一对 所有 8 例题解析 例1.已知：向量 e1 ，e2，求作：向量 -2.5 e1 + 3e2 e1 e2 A B -2.5 e1 3 e2 C 作法： 1.任取一点O， 2.作OA = -2.5 e1 OB = 3 e2 3.以OA,OB为邻边作 OACB o 4.OC为所求 9 用基底表示向量 例2.已知：OA,OB不共线,AP=tAB,（t∈R），用OA,OB表示OP。 解：∵AP = t AB 也可以用：OP = OB + BP （去解决问题） 分析：OP = OA + AP 或 OP = OB + BP ∴OP = OA + AP= OA + t AB B O A P = OA + t (OB-OA) = OA + t OB- t OA =( 1- t) OA+t OB 11 例3.已知： ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB = a ,AD = b , 用 a ,b 表示MA,MB,MC和MD. C M B A D b a 解：在 ABCD中 ∵AC = AB + BC = a + b DB = AB - AD = a – b 分析：要用a、b表示MA,MB,MC,MD 可先用a、b表示出AC, DB。 ∴MA = -0.5AC = -0.5（a + b）= -0.5a - 0.5b MB = 0.5DB = 0.5（a - b）= 0.5a - 0.5b MC = 0.5AC = 0.5（a + b）= 0.5a + 0.5b MD = - MB = -0.5a + 0.5b 12 平面向量基本定理的应用 例4(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四 组向量中，能作为基底的是 A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 一、平面向量基本定理的理解 √ √ √ 解 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底. 【练1】已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____. 3 解 因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线， 所以x－y＝3. 一、平面向量基本定理的理解 二、平面向量基本定理