第05讲 平面向量基本定理 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第5讲 平面向量基本定理 知识点1 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 注：平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 知识点2 基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． 考点一 对基向量概念的理解 解题方略： 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，其线性表示是不同的．　　　　 【例1】下列关于基底的说法正确的序号是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①②　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】由基底的定义可知①③正确. 故选B. 变式1：如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) ①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝； ④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B. 变式2：设是同一个平面内的两个向量，则有（ ） A．平行 B．的模相等 C．同一个平面内的任一向量，有 D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有 【解析】A. 是同一个平面内的两个向量，不一定平行，所以A错； B.向量长度不一定相等，即模不一定相等，所以B错； C.如果是平面内的两个共线向量，所以C错； D.由平面向量基本定理可得，D正确； 故选D 【例2】若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解析】对于A， ，能作为基底； 对于B，，不能作为基底； 对于C，，能作为基底； 对于D， ，能作为基底； 故选：B. 变式1：如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2 【解析】由e1，e2为不共线向量，可知e1与e1＋e2，e1－2e2与e1＋2e2，e1＋e2与e1－e2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2与－e1＋2e2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D. 变式2：设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意； 对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意； 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意； 对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意， 故选：C 变式3：设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】由题意作平行四边形ABCD，如图．因为与不共线，与不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，与共线，与共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，故选A、C. 变式5：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A.，　　　　　　　 B.， C.， D.