第06讲 平面向量的正交分解及坐标表示 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第6讲 平面向量的正交分解及坐标表示 知识点1 平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 知识点2 平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 考点一 平面向量的坐标表示概念辨析 【例1】下列说法正确的有(　　) ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个 【解析】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，②③④正确．故选C. 变式1：如图所示，在平面直角坐标系中，i，j分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，a是平面内的向量，且A点坐标为(x，y)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①向量a可以表示为a＝mi＋nj； ②只有当a的起点在原点时a＝(x，y)； ③若a＝，则终点A的坐标就是向量a的坐标． 【解析】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数m，n，使得a＝mi＋nj，所以①正确．当a＝时，均有a＝(x，y)，所以②错，③正确． 变式2：已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确； 举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误； 由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误； 当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误． 故选：A 考点二 求向量的坐标 解题方略： 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 【例2】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________. 【解析】将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j， ∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) 变式1：在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量a，b，c的坐标分别为_____，________，________. 【解析】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)． a