6.4.3 第1课时 余弦定理 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 第1课时 余弦定理 (精讲） 一、必备知识分层透析 知识点1：余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 知识点2：解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 二、重点题型分类研究 题型1: 已知三边解三角形 1．（2022·广西河池·高二期末（理））已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设三角形三边分别为2、3、4，则最大， 所以. 故选：B 2．（2019·广西·南宁市第四中学高二期中（文））若已知的周长为9，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意设，，，则有， 解得：，∴，，， 则． 故选：A 3．（2021·山西·晋中市新一双语学校高一阶段练习（理））在三角形中，，则大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为， 所以， 故选：D. 4．（2021·贵州·贵阳市第三十七中学高一期中）在中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由余弦定理得， 故选：A. 5．（2021·全国·高一课时练习）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 【答案】B 【详解】 由题知：设的三边分别为，，， 因为，所以角为最大的角. 因为，， 所以为锐角，故三角形为锐角三角形. 故选：B 题型2：已知两边及一角解三角形 1．（2021·北京·高二学业考试）在中，那么（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】 解：由余弦定理得. 故选：A 2．（2019·北京市第二十七中学高三期中）在中，角所对的边分别为，，，，，，那么等于（ ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 【答案】D 【详解】 解：在△ABC中，b，c，B， 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即7=3+a2-2aa2-3a+3， 解得a=4或a=-1（舍）， 故选：D. 3．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，若，则边的大小为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】 因为， 所以由余弦定理可得，即，解得或， 当或时，均能构成三角形， 故选：D 4．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在中，，，，则=___________. 【答案】 【详解】 在中，，AB=1，AC=2，由余弦定理得： ，则， 所以. 故答案为： 5．（2021·湖南·高二期中）在中，分别为角的对边，若，，，则=___________. 【答案】3 【详解】 由余弦定理得， 即， 因为，所以. 故答案为：3. 题型3：判断三角形的形状 1．（2021·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【详解】 因为，由余弦定理可得， 又由，所以，所以是钝角三角形. 故选：D. 2．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））中三边上的高依次为，则为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 【答案】C 【详解】 设三边分别为，，，， ∴， 设，，， ∵，故能构成三角形，取大角C， ∵， ∴C为钝角， ∴为钝角三角形． 故选：C﹒ 3．（2021·河北武强中学高三阶段练习）在中，，，，则是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】 解： 将，，代入余弦定理公式得： 角为钝角 是钝角三角形. 故选：B. 4．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形