6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (精讲） 一、必备知识分层透析 知识点1：平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点2：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点3：向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点4：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 二、重点题型分类研究 题型1: 平面向量数量积的坐标表示 1．（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求，，． 【答案】，， 【详解】 由题意， 故，， 2．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，、. （1）求的坐标及； （2）求． 【答案】（1），；（2）. 【详解】 （1）由已知条件可得，故； （2）由已知可得，，因此，. 3．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）已知中是直角，，点是的中点，为上一点. （1）设，，当，请用，来表示，. （2）当时，求证：. 【答案】 （1）， （2）证明见解析 （1） ∵，，点是的中点， ∴， ∴， ∵. （2） 以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点， ∴点坐标为， 又∵，∴，∴，， 所以，， 所以， ∴. 4．（2021·广东·卓雅外国语学校高一阶段练习）在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； 【答案】（1）； 【详解】 （1）因为， 所以以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系如下图： 因为， 所以． 又因为对角线交于点， 所以由得，即， 因此， 而，所以，解得， 因此． 又因为点在上，所以设， 因此， 而，所以， 解得，即， 因此，而， 所以， 即的值为； 题型2：向量的垂直及应用 1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知向量，，，则实数k的值为（ ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【详解】 解：因为，，， 所以，即，解得， 故选：C. 2．（2021·河北·高三阶段练习）若，，，则（ ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】 解：因为，，所以， 因为， 所以，即，解得. 故选：A 3．（2021·广西来宾·模拟预测（文））已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由， 有， 得. 故选：C 4．（2021·云南·罗平县第二中学高二阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 构建以B为原点，分别为x、y轴正方向的直角坐标系， ∴，，，，则，，又BE⊥AC， ∴，可得. 故选：D 5．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）平行四边形中，，，，为中点，点在对角线上，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ，，， 所以，， ，，则， 因此，. 故选：A. 题型3：向量的模 1．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，，则， 所以， 故选：A. 2．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知向量，，若，则（ ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【详解】 依题意，，即，解得，则，，故. 故选：B 3．（2021·宁夏·贺兰县景博中学高三期中（文））已知向量，满足，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：因为向量，满足，，， 所以， 所以， 所以， 故选：A． 4．（2021·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知向量，若，则（ ） A． B． C． D．5 【答案】D 【详解】 由题意可得，解得，所以，因此． 故选：D 5．（2021·全国·高一课前预习）已知向量则（ ） A．