6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示+ 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 (精讲） 一、必备知识分层透析 知识点1：平面向量的正交分解 （1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便. 知识点2：平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 （2）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点3：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点4：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 二、重点题型分类研究 题型1: 平面向量的正交分解及坐标表示 1．（2021·全国·高一课时练习）如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意知：， ∴. 故选：A. 2．（2021·全国·高一课时练习）如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________． 【答案】 【详解】 将向量，，分别向基底，所在的直线分解， 则，，， 所以，，， 故答案为：；；. 3．（2021·上海·高一期末）在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__． 【答案】 【详解】 在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示． 故答案为：． 4．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标. 【答案】， 【详解】 解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点． 设，．由三角函数的定义， 得，，∴． ，，∴． ∴，． ∴， 题型2：平面向量的坐标运算 1．（2021·全国·高一课时练习）已知，，，． （1）为何值时，点在轴上？为何值时，点在轴上？ （2）四边形能否构成一个平行四边形？若能，求的值；若不能，请说明理由． 【答案】 （1）； （2）不能，理由见解析 （1） 解：因为，，，所以， 所以, ， 若在轴上，则，即； 若在轴上，则，即； （2） 解：假设四边形为平行四边形，则， ， ，不等式组无解， 四边形是不可能为平行四边形． 2．（2021·全国·高一课时练习）已知四边形的顶点分别为，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【详解】 证明：由题意得，，，因此，故与平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． 3．（2021·全国·高一课时练习）已知边长为2的正三角形，顶点在坐标原点，边在轴上，在第一象限，为的中点，分别求向量的坐标． 【答案】；；；. 【详解】 由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点， 所以，，，． 4．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知，，. （Ⅰ）求与的夹角； （Ⅱ）时，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】 （Ⅰ），， 又， ，解得： ， 又，与的夹角为； （Ⅱ），， ，， . 题型3：平面向量共线的判定与应用 1．（2021·河北·高三阶段练习）已知向量，若，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，故由，得. 故选：C 2．（2021·四川宜宾·模拟预测（理））已知向量，若，则λ=（ ） A．-2或 B．-2或 C．-2 D． 【答案】B 【详解】 解：因为向量，且， 所以，即，消去可得， 解