6.3.1平面向量基本定理 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 (精讲） 一、必备知识分层透析 知识点1：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. （2）对平面向量基本定理的理解 (1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. (2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. (3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. (4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 知识点2：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 二、重点题型分类研究 题型1:对基底的理解 1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】 解：只要两向量不共线便可作为基底， 故对于A选项，，共线，不满足； 对于B选项，，共线，不满足； 对于C选项，共线，不满足； 对于D选项，与不共线，故满足. 故选：D. 2．（2021·全国·高一课时练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 不共线的向量能作为基底， 因为，所以向量，共线，故排除A； 假设，解得，无解， 所以向量，不共线，故B正确； 因为，所以，共线，故排除C； 因为，所以，共线，故排除D， 故选：B 3．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ） A．不可以表示平面内的所有向量； B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对； C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使； D．若存在实数使，则. 【答案】D 【详解】 由平面向量基本定理可知，A错误，D正确； 对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定， 那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误； 对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个， 或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误； 故选：D. 4．（2021·全国·高一课时练习）若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】 因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 共线：B. 题型2：用基底表示向量 1．（2021·云南·模拟预测（文））如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B 2．（2021·广东·华南师大附中高三阶段练习）在△ABC中，点D在AB上，满足，若，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为， 所以 ， 故选：A 3．（2021·云南·高三阶段练习（文））在中，边上的点满足，设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由，得，∴， 故选：B. 4．（2021·广东·高二阶段练习）如图，在中，点D是线段上靠近A的三等分点，点E是线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据题意可得 . 故选：D. 5．（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））如图，在中，，P为上一点，且满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由可得，即，因为三点共线，所以. 故选：C 6．（2021·全国·高一单元测试）过的中线的中点作直线分别交､于､两点，若，则（ ） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【详解】 解：由为的中点可知，， ， 设， 则， ， ， ， ， 与不共线， ，解得， 故选：. 题型3：用平面