6.2.4向量的数量积 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积 (精讲） 一、必备知识分层透析 知识点1：平面向量数列积的物理背景 如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功. 其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量. 知识点2：向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点3：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 知识点4：平面向量数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则 ①.  ②. ③当与同向时,； ④当与反向时,； ⑤ 或； ⑥； ⑦. 知识点5：向量数量积的运算律 ①交换律： ②对数乘的结合律： ③分配律： ④ ⑤ 二、重点题型分类研究 题型1: 与向量数量积有关的概念 1． （2021·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 A：，A正确； B：设，则， 设，则， 因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误； C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确； D：数量积满足交换律，D正确； 故选：B 2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知，，且与的夹角，则等于（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】 因为，，且与的夹角， 所以. 故选：A. 3．（2021·全国·高一课时练习）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【答案】C 【详解】 因为，故，故， 而，故，故三角形为钝角三角形， 故选：C. 4．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））在△ABC中，若(－)·(＋)＝0，则△ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】 (－)·(＋)＝·＝0， 则CA⊥BA，所以△ABC一定是直角三角形． 故选：A 5．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高一期末）已知在中，，则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以，所以角为钝角， 所以为钝角三角形， 故选：C 题型2：向量的夹角 1．（2021·福建福州·高三期中）已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（ ） A．45° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【详解】 设与的夹角为，， 由于与相互垂直， 所以， 所以. 故选：C 2．（2021·全国·高一课时练习）若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为. 故选：B 3．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知向量，其中，且，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由于，所以， 设与的夹角为， 则， 由于，所以. 故选：B 4．（2021·山东临沂·高三阶段练习）若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为向量，的夹角为，且，， 所以， ， 因为，所以 故选：A 5．（2021·河南·高三阶段练习（文））若单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，，所以，即， 所以，所以， 又，所以. 故选:. 题型3：平面向量的数量积 1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳