6.2.3向量的数乘运算 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 (精讲） 一、必备知识分层透析 知识点1：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点2：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点3：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 二、重点题型分类研究 题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量 1．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图， 中，、、分别是、、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ） A． B．； C． D． 【答案】B 【详解】 依题意中，、、分别是、、上的中线， 所以是三角形的重心. 所以，A选项正确. ，B选项错误. ，C选项正确. ，D选项正确. 故选：B 2．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））在△ABC中，点D满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 如图， 由题意，. 故选：C. 3．（2021·四川绵阳·高三阶段练习（理））设，为所在平面内两点，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，，所以，， 所以 ， 故选：B. 4．（2021·全国·高一课时练习）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由， ∴. 故选：C 题型2：向量共线的判定 1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ） A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D． 【答案】B 【详解】 因为，，所以， 故向量与向量共线反向. 故选：B. 2．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，.求证：与是共线向量． 【答案】证明见解析 【详解】 由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量． 题型3：利用向量共线证明线线平行 1．（2021·全国·高一课时练习）已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据． 【答案】答案见解析. 【详解】 由题设，可得如下示意图，表示同一向量，四边形ABCD为平行四边形， 由已知条件，可得：，即，易知：且. ∴四边形ABCD为平行四边形. 2．（2021·河北师大附中高一期中）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，用向量方法证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】 证明：四边形是平行四边形，，且， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 3．（2020·全国·高一课时练习）如图，已知四边形ABCD的两条对角线相交于点M，.用平面向量证明四边形ABCD是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【详解】 设，则：，且，∴四边形是平行四边形. 题型4：利用向量共线定理判断三点共线 1．（2021·全国·高一课时练习）已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设=，=. （1）用向量与表示向量; （2）若，判断C，D，E是否共线，并说明理由. 【答案】（1）=-；（2）C，D，E三点不共线，理由见解析. 【详解】 解(1)∵=，=，点A是BC的中点， ∴=-. ∴=--. (2)假设存在实数λ，使=λ. ∵=++(-)=+， ) =2+(-+)=+， ∴+=λ， ∴此方程组无解， ∴不存在实数λ，满足=λ. ∴C，D，E三点不共线. 2．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，，分别是，的中点，，，． （1）用，表示，，，，；