第6练 三角形的中线、角平分线与高（基础+培优+拔尖）-【多维练】2021-2022学年七年级数学下学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第6练 三角形的中线、角平分线与高（培优练习） 1．（2020春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法： ①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长； ③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高． 上述说法中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①． 【详解】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确； ②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确； ③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确． 综上所述，正确的是①②③④共4个． 故选：D． 2．若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（　　） A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ 【分析】根据垂线段最短即可判断． 【详解】解：如图， ∵PA⊥BC， ∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ， 故选：D． 3．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可． 【详解】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B），高为1：2（BB1＝2BC），故面积比为1：2， ∵△ABC面积为1， ∴S△A1B1B＝2． 同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2， ∴S△A1B1C1＝S△C1B1C+S△AA1C1+S△A1B1B+S△ABC＝2+2+2+1＝7； 同理可证△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49， 第三次操作后的面积为7×49＝343， 第四次操作后的面积为7×343＝2401． 故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过4次操作． 故选：A． 4．如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是　　． 【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）， ＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD， ＝AB﹣BC， ∵AB＝8，BC＝6， ∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣6＝2． 答：△ABD和△BCD的周长差为2． 故答案为：2 5．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是　　． 【分析】由于BD＝2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD＝2S△ACD，而S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC＝3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE＝S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC． 【详解】解：∵BD＝2DC， ∴S△ABD＝2S△ACD， ∴S△ABC＝3S△ACD， ∵E是AC的中点， ∴S△AGE＝S△CGE， 又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4， ∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝3+3+4＝10， ∴S△ABC＝3S△ACD＝3×10＝30． 故答案为：30． 6．（2020秋•中山市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　　． ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH． 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可． 【详解】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠AC