6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)

6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及加、减、数乘 运算的坐标表示 -----典例精讲 本节课知识点目录： 1、 向量的正交分解与坐标表示 2、 向量加法、减法运算的坐标表示。 3、 向量数乘运算的坐标表示 4、 向量平行的坐标表示 5、 单位向量与三角换元 6、 定比分点 7、 与均值不等式结合求最值 8、 三角函数恒等变形与向量运算的坐标表示 一、向量的坐标表示 1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2.正交分解的基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． 3．坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 4．坐标表示：a＝(x，y)． 5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 【典型例题】 【例1】已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ） A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2) 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为A(3，1)，B(2，－1)， 所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．故选：C 【例2】已知点，，向量，则向量（ ） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣5） 【答案】A 【分析】 根据条件利用向量的减法和向量的坐标运算即可得解． 【详解】 设点，所以，即，解得， 于是得点，因此，，所以向量.故选：A 【例3】已知，，若，则点的坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解. 【详解】设点的坐标为，则，， 因为，即，所以，解得，所以 故选：C. 【例4】如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知点坐标写出的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出表示的代数形式. 【详解】 由题意知：，∴.故选：A. 【例5】已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限. 【详解】 由题意得： ， 位于第四象限。故选：D. 【例6】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__． 【答案】 【分析】 根据平面向量的基本定理，结合已知基底，即可确定向量的坐标. 【详解】 在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示． 故答案为：． 【对点实战】 1.已知向量，点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设点的坐标为，则，再结合可求出的值，从而可求得点的坐标 【详解】 解：设点的坐标为，则，因为，所以，得， 所以点的坐标为，故选：B 2.已知点，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算直接得解. 【详解】，，故选：A 3.已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值． 【答案】， 【分析】根据向量的坐标表示列出关于的方程组解出即可. 【详解】 因为， 所以，即. 4.平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________． 【答案】 【分析】 根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 二、向量加法、减法运算的坐标表示 1.加法运算：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 2.加法运算：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 即a-b＝(x1-x2，y1-y2) 【典型例题】 【例1】已知，，那么=（ ） A．（2，2） B．（3，0） C．（4，1） D．（3，2） 【答案】D 【分析】 由向量加法的坐标运算即可求解. 解：因为，，所以，故选：D. 【例2】已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标. 【详解】由题设，.故选：C. 【例3】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法法则计算． 【详解】故选：A. 【例4】若，