第04讲 平面向量的数量积 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第4讲 平面向量的数量积 知识点1 向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与的夹角．功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 知识点2 向量数量积的概念 （1） 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. （2）数量积的定义 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即，其中是与的夹角． 注：零向量与任一向量的数量积为0．非零向量数量积的运算结果是一个数量，当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0. 向量的线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. （3）投影向量的概念 如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. （3）数量积的几何意义 设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影 ． 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度． 由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投 影的乘积． 知识点3 向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. 注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模. (4)，其中是非零向量与的夹角； 注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角. (5)|a·b|≤|a||b|.当且仅当向量共线，即时等号成立 注：可用于解决有关“向量不等式”的问题. 知识点4 向量数量积的运算律 交换律：； 数乘结合律：； 分配律：． 注：(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立. (3)；． 考点一 向量的数量积运算 解题方略： 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 （一）向量数量积的概念及运算律 【例1】下列判断： ①，则； ②已知是三个非零向量，若，则； ③共线； ④； ⑤； ⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角； ⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长． 其中正确的是 ． 【解析】由于，所以若，则，故①正确； 若，则，又是三个非零向量，所以，所以，②正确； 共线，所以③错; 对于④，应有，所以④错; 对于⑤，应该是，所以⑤错； 当的夹角为0°时，也有，因此⑥错; 表示向量在向量方向上的投影，而非投影长，故⑦错．综上可知①②正确． 变式1：下面给出的关系式中正确的序号是________． ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. 【解析】①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a||b||cos θ|≥a·b，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2. 答案：①②③ 变式2：已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）． A． B． C． D． 【解析】A：，A正确； B：设，则， 设，则， 因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误； C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确； D：数量积满足交换律，D正确； 故选：B （二）向量数量积的简单计算 【例2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则