第02讲 平面向量的加、减法运算 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第2讲 平面向量的加、减法运算 知识点1 向量的加法 向量的加法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 向量加法的三角形法则： 如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪* 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a. 向量加法的平行四边形法则： 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则． www -2- 向量加法的三角形法则：（类比位移） 记忆口诀：首尾相接首尾连 平行四边形法则：（类比力的合成） 记忆口诀：共起点，连对角 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系． 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的； (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 向量加法的运算律： 交换律：； 结合律：． 和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有． 当与共线且同向时，； 当与共线且异向时，； 当与不共线时，． 知识点2 向量的减法 1、相反向量 (1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0 (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 2、向量的减法运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 减法 向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． 向量减法的三角形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． 向量减法的平行四边形法则： 如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义． 向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减 向量的加法和减法的运算问题 关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果． 考点一 向量的加法运算 解题方略 （1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量． 三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”． （2） 当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用． （1） 向量的加法法则 已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图． 【例1】如图，已知向量，，求作向量． 变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量． （2） 向量的加法运算 在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度. 【例2】化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 变式1：向量﹒化简后等于（ ） A. B.0 C. D. 变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【例3】已知正六边形，则 （ ） A． B． C． D． 变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝___