专题10 二次函数的应用-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)

专题10 二次函数的应用 考向 二次函数的应用 【母题来源】（2021·浙江台州） 【母题题文】以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　 　． 【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论． 【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝， ∵h1＝2h2， ∴v1＝v2， ∴t1：t2＝v1：v2＝：1， 故答案为：：1． 【母题来源】（2021·浙江金华） 【母题题文】某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离; （3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝， ∴点A的坐标为（0，）， ∴雕塑高m． （2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同, ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝， ∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上． 又∵≈1.83＞1.8， ∴顶部F不会碰到水柱． 【母题来源】（2021·浙江衢州） 【母题题文】如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解； （2）①由图像分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式； ②根据题意，列式y2﹣y1利用二次函数的性质求最值． 【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2． 将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝， ∴y1＝x2， 当x＝12时，y1＝×122＝﹣6， ∴桥拱顶部离水面高度为6m． （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1， 将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1 ②设彩带的长度为Lm， 则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝， ∴当x＝4时，L最小值＝2， 答：彩带长度的最小值是2m． 【母题来源】（2021·浙江绍兴） 【母题题文】小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上． （1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）； （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在