专题09 二次函数的图象和性质-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)

专题09 二次函数的图象和性质 考向1 二次函数的图象和性质 【母题来源】（2021·浙江湖州） 【母题题文】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】不妨假设a＞0，利用图象法一一判断即可． 【解答】解：方法一：不妨假设a＞0． ①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2， ∵P1P2∥AB， ∴S1＝S2，故①错误． ②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2， 则S1＞S2，故②错误， ③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1， ∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大， ∴S1＞S2，故③正确， ④如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误． 故选：A． 方法二：解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0）， ∴该抛物线对称轴为x＝2， 当x1＞x2+2时与当x1＜2﹣x2时无法确定P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上的对应位置， 故①和②都不正确； 当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，P1（x1，y1）比P2（x2，y2）离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方， ∴|y1|＞|y2|， ∴S1＞S2，故③正确； 当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到﹣2的距离大，且都大于1， 可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到﹣2的距离大于1，但x2到2的距离不能确定， 所以无法比较P1（x1，y1）比P2（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误； 故选：A． 【母题来源】（2021·浙江湖州） 【母题题文】如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）求直线AM的解析式． 【分析】（1）将A（2，0）代入抛物线解析式即可求出m的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，M的坐标代入即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）， ∴2×22+2m＝0， ∴m＝﹣4， ∴y＝2x2﹣4x ＝2（x﹣1）2﹣2， ∴顶点M的坐标为（1，﹣2）， （2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵图象过A（2，0），M（1，﹣2）， ∴， 解得， ∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4． 【母题来源】（2021·浙江杭州） 【母题题文】在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）． （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6． 【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可； （3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得， 所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1． 并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）． （2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1， ∵b2﹣4ac＝5＞0， ∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点． （3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1， 所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1 ＝p2+q2+4 ＝（2﹣q）2+q2+4 ＝2（q﹣1）2+6≥6， 由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证． 【母题来源】（2021·浙江嘉兴） 【母题题文】已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值． 【分析】（1）解析