第01讲 锐角三角形 -【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第1讲 锐角三角函数 1.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义 2.能够运用tanA，sinA，cosA表示直角三角形中两边的比，能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算 模块一 锐角的正切 1.直角三角形各边名称认识 在RtΔABC中，∠BAC=90°， 斜边为__________ ∠B的对边为__________邻边为__________; ∠C的对边为__________邻边为__________; 2.锐角的正切值 看下图 在Rt△ABC中,∠A的对边为______，邻边为______ =____。 在Rt△ADE中,∠A的对边为_______,邻边为_____=____。 在Rt△AFG中,∠A的对边为______, 邻边为_____=____。 你发现了什么？ 由三角形相似可知，以上三个三角形中，∠A的对边与邻边的比值（ ），所以，在一个直角三角形中，如果一个锐角固定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也就固定下来。 并且不同的锐角对应不同的比值，即对于任意度数的锐角，它的对边与邻边的比值是一个固定值。 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切( tangent)，记作tanA， 即tanA= 注：tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切， 记号里习惯省去角的符号“∠”，之后的sinA，cosA也是这样 4.坡度 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，坡度用 表示 所以坡度就是坡角的正切。 要注意坡度与坡角的区别和联系。显然，坡度越大，坡面越陡. 例题1 在中，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据正切函数等于对边比临边解答即可. 【详解】 ∵，，， ∴. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边. 例题2 在中，，，，则BC的长是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由，可设BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出x的值. 【详解】 ∵， ∴可设BC=x，AC=2x， 由勾股定理得 x2+4x2=25, ∴x=,即BC的长是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了勾股定理，以及锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边. 例题3 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由图可知，，， ∴， ∴． 故选． 例题4 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选B． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 模块二 锐角的正弦和余弦 1.∠A的对边与斜边的比叫做正弦(sine)，记作sinA， 即sinA= 2.∠A的邻边与斜边的比叫做余弦( cosine)，记作cosA， 即cosA 3.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。 回忆下函数的定义：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量的每一个值x，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数可见，函数是两个变量之间的对应关系. 4.锐角三角函数的性质： ① 同角三角函数关系： ， . 5、互为余角三角函数关系： ∠A+∠B=90° ①任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值:sinA=cosB ② 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值:sinB=cosA 例题5 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 由勾股定理，得AB==5 cosA== 故选B． 【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，在直角