第03讲 三角函数的应用 -【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第3讲 三角函数的应用 1. 知道解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的边角关系解直角三角形 2. 能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题 1.解直角三角形 已知条件 解法类型 一条边和一个锐角 斜边和锐角 ，， 直角边和锐角 ，， 两条边 两条直角边和 ，由，求， 斜边和直角边 ，由，求， 2.基本图形 3.实际应用中的概念 ⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴． ⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶． 例题1 如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】 试题分析：根据AB=3m，∠ABC=45°可得：AC=，根据∠D=30°可得：AD=2AC=2×=3m． 考点：三角函数 例题2 如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( ) A．(6＋6)米 B．(6＋3)米 C．(6＋2)米 D．12米 【答案】A 【分析】 在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD． 【详解】 解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米， ∴BC=6米， 在Rt△ABD中， ∵tan∠BAD=， ∴BD=AB•tan∠BAD=6米， ∴DC=CB+BD=6+6（米）． 故选A． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 例题3 深圳市民中心及周边楼宇为当日返回深圳的援鄂医疗队员亮灯，欢迎最美逆行者回家．小洪在欢迎英雄回家现场，如图，若他观测到英雄画像电子屏顶端A和底端C的仰角分别为∠α和∠β，小洪所站位置E到电子屏边缘AC垂直地面的B点距离为m米，那么英雄画像电子屏高AC为（ ） A．米 B．m•tan(α﹣β)米 C．m(tanα﹣tanβ)米 D．米 【答案】C 【分析】 先根据矩形的性质得到DF＝BE＝m米，然后再解直角三角形即可解答． 【详解】 解：根据题意得，DF＝BE＝m米， ∵在Rt△ADF中，tanα＝， ∴AD＝DF•tanα＝m•tanα， ∵在Rt△CDF中，tanβ＝， ∴CD＝DF•tanβ＝m•tanβ， ∴AC＝AD﹣CD＝m•tanα﹣m•tanβ＝m(tanα﹣tanβ)(米)， 答：英雄画像电子屏高AC为m(tanα﹣tanβ)(米)， 故答案为C． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，弄清题意、正确运用三角函数求解是解答本题的关键． 例题4 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( ) A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D． 【答案】C 【分析】 在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可． 【详解】 在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝， ∴BC＝atanα，BD＝atanβ， ∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ， 故选C． 【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键． 例题5 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ） A．4km B．2km C．2km D．（＋1）km 【答案】C 【详解】 试题分析：过点A作AD⊥OB，则AD=OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=2km. 考点：三角函数的应用 1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为