第02讲 30°45°60°角的三角函数值 -【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第2讲 30°,45°,60°角的三角函数值 能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算，能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小。 1.特殊角的三角函数值： 角的度数 三角函数 30° 45° 60° sinα cosα tanα 2. 锐角三角函数值的变化规律： 当角度在范围内变化时， 正弦值随角度增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度增大（或减小）而减小（或增大）． 正切值随角度增大（或减小）而增大（或减小）； 例题1 2sin60°的值等于（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 2 sin 60°= .故选D. 例题2 计算下列各式的值． (1) ； (2) sin45°+tan45°﹣2cos60°． (3) ． 【答案】(1) 1+；(2) 1；(3) ． 【分析】 （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后进行化简即可；（2）先把特殊角的三角函数值代入，然后进行化简即可;（3）先把特殊角的三角函数值代入，然后进行化简即可． 【详解】 (1) = =2-1+ =1+； (2) sin45°+tan45°﹣2cos60° = =1+1-1 =1； (3) = = =． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟知特殊角的三角函数值是解决问题的关键. 1. 计算 （1） （2）． （3）|−|-（-4）-1+( )0-2cos30° 【答案】（1）；（2）4（3） 【详解】 解：（1）原式＝ （2）解：原式 ＝1﹣1+2+2 ＝4． （3）原式=++1﹣2×=． 2.如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据：cos（90°﹣α）= sinα. 【详解】 cos（90°﹣α）= sinα=. 故选B 3．在△ABC中，若=0，则∠C的度数是（ ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】 根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数． 【详解】 由题意，得 cosA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 4.若α为锐角，且，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由α为锐角，且sinα= ，得cosα=， tanα= ， 故选D． 5．已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（　　） A．α=β B．α+β=90° C．α-β=90° D．β-α=90° 【答案】B 【详解】 ∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ， sinα=cos（90°-α）=cosβ， ∴α+β=90°， 故选B． 【点睛】本题考查了互余两角的正弦与余弦间的关系，熟知一个角的正弦值等于其余角的余弦值是解题的关键. 6.α为锐角，当＋2013无意义时，sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为__________． 【答案】 【解析】 ∵无意义， ∴1-tanα=0，即tanα=1， ∴α=45°， ∴sin(α+15°)+cos(α-15°)=sin60°+cos30°=. 故答案为. 点睛: 本题主要考查了特殊角的三角函数值以及分式有无意义的条件，熟练掌握分式的知识是解题关键. 7.如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位） 【答案】19 【分析】 由四边形ABDE是矩形，得到DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度． 【详解】 依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=1.5，在Rt△BCD中，sin∠CBD=，又∵BC=20，∠CBD=60°，∴CD=BC•sin60°==，∴CE=+1.5≈19米，答：此时风筝离地面的高度约为19米． 【点睛】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 8.如图，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠B＝30°.请你添加适当的辅助线，求出tan15°的值． 【答案】tan15°＝2－ 【解析】 分析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°=求出即可． 本题解析：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB， ∴CD=DE， 设CD=x,则AD=1−x