6.3.1平面向量的基本定理(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)

6.3.1平面向量的基本定理 -----典例精讲 本节课知识点目录： 1、 平面向量基本定理概念； 2、 基底理解：坐标系坐标轴合力。 3、 基地基础：向量平行和绕三角形（基础） 4、 基底：绕三角形“中线型” 5、 基底：然三角形“中线上的中线型” 6、 基底：“不正常基底型” 7、 等和线与三点共线 8、 向量最值范围 9、 三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”） 10、 联赛、联考与自主招生题选 一、平面向量基本定理概念 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 【典型例题】 【例1】下列说法错误的是（ ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 【答案】B 【分析】 根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】 由共线向量的性质可知选项A正确； 根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确； 根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确， 故选：B 【例2】．设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】 利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可． 【详解】 对A，B，D，令，，均无法找到一个实数使得等式成立，故均不共线，可作为基底； 对C，，所以两个向量共线，所以不能当成基底，故选：C. 【例3】设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据基底不共线即可判断. 解：，是平面内不共线的两个向量，对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误； 对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误； 对C，，故与共线， 不可以作为基底，故C正确； 【例4】如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】 根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项． 【详解】 对于A：设，则，所以无解； 对于B：设，则，所以无解； 对于C：设，则，所以无解； 对于D：设，则，解得，所以此两向量是共线向量； 故D中向量能作为平面内所有向量的一组基底， 故选：D． 【例5】设向量与不共线，若，则实数的值分别为（ ） A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 【答案】D 【分析】根据题意，由不共线向量和向量相等得出，即可求出的值. 解：已知向量与不共线，因为， 所以，解得：.故选：D. 【例6】设向量，若用表示，则________. 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】设，则有， 得，所以，故答案为： 【对点实战】 1.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底 【详解】 解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意； 对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意； 对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意； 对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意， 故选：C 2.设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】 根据基底为一组不共线的向量可得出结论. 【详解】 如下图所示： ①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意． 故选：B. 3.下列说法中正确的是（ ） A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量. B．在平面向量基本定理中，若，则. C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是. D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的. 【答案】ABC 【分析】 由平面向量基本定理，依次判定即可 【详解】 选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向