6.2.4向量的数量积运算(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)

6.2.4向量的数量积运算 -----典例精讲 本节课知识点目录： 1、 向量的数量积运算：给模求数量积； 2、 向量的数量积运算：给模或者数量积求模。 3、 向量的数量积运算：给夹角求模或者数量积 4、 向量的数量积运算：给数量积或模求夹角 5、 向量的数量积运算：垂直 6、 投影向量 7、 向量的数量积运算：图形中确定基底 8、 数量积之求最值（难点） 9、 联赛、联考与自主招生题选 一、向量的数量积运算：给模求数量积 1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 【典型例题】 【例1】若向量满足，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】 已知向量的模，结合向量数量积的运算可得，即可求. 【详解】 由题设，，又， ∴，可得. 故选：B. 【例2】已知，，均为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将原等式转化为，平方后化简即可求解. 【详解】 ,,,， ，，均为单位向量，，. 故选：C 【例3】已知，则____________. 【答案】 【分析】 已知，可借助两边平方带入、即可完成求解. 【详解】 将两边平方，得，得. 故答案为：. 【例4】已知平面上三点、、满足，，，则值等于（ ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【分析】 根据勾股定理逆定理可得，再由三角函数求出和的值，由数量积的定义即可求解. 【详解】 由已知，，，所以， 所以，并且，， 所以 ；故选：A． 【对点实战】 1.平面向量，满足，，，则___________． 【答案】 【分析】 将两边同时平方，再将，代入即可求解. 【详解】 因为，所以， 因为，，所以，可得， 故答案为：. 2.若非零向量，，满足，且，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【分析】 由平面向量共线定理可知存在实数使得，再进行向量数量积运算即可求解. 【详解】 因为非零向量，所以存在实数使得， 又因为，所以，故选：D． 二、向量的数量积运算：给模或者数量积求模 【典型例题】 【例1】已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】给两边平方化简可求得答案 【详解】因为，所以，因为，平面向量，的夹角为45°， 所以，化简得， 解得或（舍去）.故选：B 【例2】已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】 设，由向量数量积的运算律计算可得选项. 【详解】 解：设，因为，所以， 又，所以，解得. 故选：B. 【例3】向量的夹角为，，则_________ . 【答案】 【分析】 利于向量的运算法则求，进而求解 【详解】 ， 所以 故答案为： 【例4】已知向量满足，则（ ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】 利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案. 【详解】 ∵, 又∵ ∴，∴，∴， 故选：B. 【例5】已知非零向量满足，且，则向量的模长为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】 将两边平方并化简，进而结合即可求得答案. 【详解】 设的夹角为，因为，所以， 所以． 故选：B. 【例6】已知，为非零向量，则成立的条件是____________；成立的条件是____________. 【答案】向量与方向相同 向量与方向相反 【分析】 设与的夹角为，由，两边平方化简可得，求得，即向量与方向相同；由，两边平方化简可得，求得，即向量与方向相反. 【详解】 设与的夹角为， ，两边平方可得：， 即，， 又，为非零向量， ，，即向量与方向相同. 所以成立的条件是向量与方向相同 ，两边平方可得： 即，， 又，为非零向量， ，，即向量与方向相反. 所以成立的条件是向量与方向相反 故答案为：向量与方向相同，向量与方向相反 【对点实战】 1.已知是半径为的圆的内接正方形，是圆上的任意一点，则的值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．与的位置有关 【答案】B 【分析】 首先根据题意得到，再化简求解即可. 【详解】 如图所示： . 故选：B 2.已知向量满足，则___________. 【答案】 【分析】 根据向量模的数量积表示计算即可得答案. 【详解】 解：因为， 所以.故答案为： 3.已知