6.1平面向量的概念 (精讲）-【精讲精练】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.1平面向量的概念 (精讲） 6.1.1向量的实际背景与概念 6.1.2向量的几何表示 6.1.3相等向量与共线向量 一、必备知识分层透析 知识点1：向量的概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. ①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. ②向量与向量之间不能比较大小. （2）数量 只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等 （3）向量与数量的区别 ①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小 ②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的). 知识点2：向量的几何表示 (1)有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头. ②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. （4）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 ①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合. ②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. ③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同. ④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆. 知识点3：相等向量与共线向量 (1)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (2)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. （3）共线向量 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线. 共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量. 二、重点题型分类研究 题型1：向量的有关概念 1．（2021·全国·高一课时练习）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】 ①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量. 故选：C 2．（2021·上海·高一课时练习）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】 解：速度、位移、力、加速度4个物理量是向量，它们都有大小和方向. 故选： 3．（2021·上海·高一课时练习）下列命题中，正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】 若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确; 若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确; 向量不能比较大小,C不正确; 若，则,D,不正确. 故选:B. 4．（2021·全国·高一课时练习）对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________ 【答案】1 【详解】 （1）向量不可比较大小，故（1）错误； （2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误； （3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确； （4）与任意向量平行，故（4）错误； （5）若与有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误. 故正确的命题个数为. 故答案为：. 题型2：向量的几何表示 1．（2021·全国·高一课时练习）如图的方格纸由若干个边