内容正文:
3. 2 导数的应用
第 1 课时 导数与函数的单调性
1 利用导数确定函数的单调性(单调区间)
1. (2017·浙江,7,4 分,★★★) 函数 y = f(x) 的导数 y =
f′(x) 的图象如图所示,则函数 y = f(x) 的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
2. (2015·全国卷Ⅱ,12,5分,★★★) 设函数 f′(x) 是奇函数
f(x)(x ∈ R) 的导函数,f( - 1) = 0,当 x > 0 时,xf′(x) -
f(x) < 0,则使得 f(x) > 0 成立的 x 的取值范围是 ( )
A. ( - ∞ , - 1) ∪ (0,1) B. ( - 1,0) ∪ (1, + ∞ )
C. ( - ∞ , - 1) ∪ ( - 1,0) D. (0,1) ∪ (1, + ∞ )
3. (2015·陕西(文),9,5分,★★) 设 f(x) = x - sin
x,则 f(x) =
( )
A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数
C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数
4. (2012·辽宁(文),8,5 分,★★) 函数 y = 1
2
x2 - ln
x 的单
调递减区间为 ( )
A. ( - 1,1] B. (0,1] C. [1, + ∞ ) D. (0, + ∞ )
5. (2017·山东,15,5 分,★★★) 若函数 y = ex f(x)(e =
2. 718
28… 是自然对数的底数) 在 f(x) 的定义域上单调递
增,则称函数 f(x) 具有 M 性质,下列函数中所有具有 M 性
质的函数的序号为 .
①f(x) = 2 -x ②f(x) = 3 -x
③f(x) = x3 ④f(x) = x2 + 2
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6. (2021·全国卷乙(文),21,12分,★★★★) 已知函数 f(x) =
x3 - x2 + ax + 1.
(1) 讨论 f(x) 的单调性;
(2) 求曲线 y = f(x) 过坐标原点的切线与曲线y = f(x) 的
公共点的坐标.
7. (2021·新高考卷Ⅱ,22,12分,★★★★) 已知函数 f(x) =
(x - 1)ex - ax2 + b.
(1) 讨论 f(x) 的单调性.
(2) 从下面两个条件中选一个,证明:f(x) 有且仅有一个
零点.
① 1
2
< a ≤ e
2
2
,b > 2a;
②0 < a < 1
2
,b ≤ 2a.
8. (2021·新高考卷Ⅰ,22,12 分,★★★★★) 已知函数 f(x) =
x(1 - ln
x)
.
(1) 讨论 f(x) 的单调性;
(2) 设 a,b为两个不相等的正数,且 bln
a -aln
b = a - b,证
明:
2 < 1
a
+ 1
b
< e.
9. (2020·全国卷 Ⅱ(文),21,12 分,★★★★) 已知函数
f(x) = 2ln
x + 1.
(1) 若 f(x) ≤ 2x + c,求 c 的取值范围;
(2) 设 a > 0,讨论函数 g(x) = f(x)
- f(a)
x - a
的单调性.
10. (2018·全国卷 Ⅰ,21,12 分,★★★★) 已知函数 f(x) =
1
x
- x + aln
x.
(1) 讨论 f(x) 的单调性;
(2) 若 f(x) 存在两个极值点 x1 ,x2 ,证明:
f(x1 ) - f(x2 )
x1 - x2
<
a - 2.
11. (2018·全国卷Ⅰ(文),21,12分,★★★) 已知函数 f(x) =
aex - ln
x - 1.
(1) 设 x = 2是 f(x) 的极值点,求 a,并求 f(x) 的单调区间;
(2) 证明:当 a ≥ 1
e
时,f(x) ≥ 0.
12. (2017·全国卷 Ⅰ(文),21,12 分,★★★★) 已知函数
f(x) = ex(ex - a) - a2x.
(1) 讨论 f(x) 的单调性;
(2) 若 f(x) ≥ 0,求 a 的取值范围.
13. (2017·全国卷Ⅱ(文