6.4 数列求和及数列的综合应用-【直击双1流】2022版高考数学真题分类全刷

6. 4　 数列求和及数列的综合应用 1 数列求和 - 裂项相消法求和 1. (2012·大纲卷,5,5分,★★) 已知等差数列{an} 的前 n 项 和为 Sn,a5 = 5,S5 = 15,则数列 1 anan+1{ } 的前 100 项和为 (　 　 ) A. 100 101 B. 99 101 C. 99 100 D. 101 100 2. (2017·全国卷Ⅱ,15,5分,★★)等差数列{an} 的前 n项和 为 Sn,a3 = 3,S4 = 10,则∑ n k = 1 1 Sk = . 3. (2020·浙江,20,15分,★★) 已知数列{an},{bn},{cn} 满 足 a1 = b1 = c1 = 1,cn = an+1 - an,cn+1 = bn bn+2 cn,n ∈ N∗ . (1) 若{bn} 为等比数列,公比 q > 0,且 b1 + b2 = 6b3 ,求 q的 值及数列{an} 的通项公式; (2) 若{bn} 为等差数列,公差 d > 0,证明:c1 + c2 + c3 + … + cn < 1 + 1 d ,n ∈ N∗ . 4. (2015·全国卷Ⅰ,17,12分,★★)Sn 为数列{an} 的前 n 项 和. 已知 an > 0,a2n + 2an = 4Sn + 3. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设 bn = 1 anan+1 ,求数列{bn} 的前 n 项和. 5. (2015·安徽(文),18,12分,★★) 已知数列{an} 是递增的 等比数列,且 a1 + a4 = 9,a2a3 = 8. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设 Sn 为数列{an} 的前 n项和,bn = an+1 SnSn+1 ,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn . 6. (2014·大纲卷,18,12 分,★★) 等差数列{an} 的前 n 项和 为 Sn . 已知 a1 = 10,a2 为整数,且 Sn ≤ S4 . (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设 bn = 1 anan+1 ,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn . 7. (2014·山东,19,12 分,★★★) 已知等差数列{an} 的公差 为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1 ,S2 ,S4 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 令 bn = ( - 1) n -1 4n anan+1 ,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn . 8. (2011·全国卷,17,12 分,★★★) 等比数列{an} 的各项均 为正数,且 2a1 + 3a2 = 1,a23 = 9a2a6 . (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设 bn = log3a1 + log3a2 + … + log3an,求数列{ 1 bn } 的前 n 项和. 2 数列求和 错位相减法求和 9. (2020·全国卷Ⅰ,17,12分,★★) 设{an} 是公比不为 1 的 等比数列,a1 为 a2 ,a3 的等差中项. (1) 求{an} 的公比; (2) 若 a1 = 1,求数列{nan} 的前 n 项和. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 97 10. (2020·全国卷Ⅲ,17,12分,★★) 设数列{an} 满足 a1 = 3,an+1 = 3an - 4n. (1) 计算 a2 ,a3 ,猜想{an} 的通项公式并加以证明; (2) 求数列{2nan} 的前 n 项和 Sn . 11. (2019·天津(文),18,13分,★★★) 设{an} 是等差数列, {bn} 是等比数列,公比大于 0. 已知 a1 = b1 = 3,b2 = a3 , b3 = 4a2 + 3. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 设数列{cn} 满足 cn = 1,n为奇数, b n 2 ,n为偶数.{ 求a1c1 + a2c2 + … + a2nc2n(n ∈N∗). 12. (2017·山东,19,12分,★★★★) 已知{xn} 是各项均为正 数的等比数列,且 x1 + x2 = 3,x3 - x2 = 2. (1) 求数列{